【数据结构】AVL树的删除（解析有点东西哦）

news2025/1/15 12:55:50

文章目录

  • 前言
  • 一、普通二叉搜索树的删除
    • 1. 删除结点的左右结点都不为空
    • 2. 删除结点的左结点为空，右节点不为空
    • 3. 删除结点的右结点为空，左节点不为空
    • 4. 删除结点的左右结点都不为空
  • 二、AVL树的删除
    • 1. 删除结点，整棵树的高度不变化
      • 1.1 parent的平衡因子在删除结点之前为0
        • 1.1.1 删除结点为parent的左节点
        • 1.1.2 删除结点为parent的右节点
      • 1.2 parent的平衡因子在调整过程中为2
        • 1.2.1 删除结点为parent的左节点
          • 1.2.1.1 parent的右节点的平衡因子为0
          • 1.2.1.2 parent的右节点的平衡因子为1
        • 1.2.2 删除结点为parent的右节点
          • 1.2.2.1 parent的左节点的平衡因子为0
          • 1.2.2.2parent的左节点的平衡因子为 -1
    • 2. 删除结点，整棵树的高度变化
      • 2.1 删除结点为parent的左节点
        • 2.1.1 parent的平衡因子在删除结点之前为 -1
        • 2.1.2 parent的平衡因子为2且parent的右结点的平衡因子为-1
          • 2.1.2.1 PRleft的平衡因子为1
          • 2.1.2.2 PRleft的平衡因子为-1
      • 2.2 删除结点为parent的右节点
        • 2.1.1 parent的平衡因子在删除结点之后为 0
        • 2.1.2 parent的平衡因子为-2且parent的左节点的平衡因子为1
          • 2.1.2.1 PLright的平衡因子为 1
          • 2.1.2.2 PLright的平衡因子为-1
  • 实现代码
  • 详细图解（建议收藏）
  • 总结

前言

  由于AVL树也是二叉搜索树，为了降低一点难度，我们就基于普通二叉搜索树的删除的铺垫，再进行相关的操作。

一、普通二叉搜索树的删除

第一步：先找到要删除的结点，没有返回false。
情况分析：

1. 删除结点的左右结点都不为空

  • 父节点为根节点。

例：
在这里插入图片描述

删除1，但父节点也是1，直接将根节点置为空即可。

  • 父节点不为根节点。

例：
在这里插入图片描述

删除5结点，将其父节点的指向，指向空即可。

2. 删除结点的左结点为空，右节点不为空

  • 父节点为根节点

在这里插入图片描述

删除1，这里只需要将2改为根节点。

  • 父节点不为根节点。

在这里插入图片描述

删除5结点，将其父节点，指向5的右结点即可，再删除6即可。

3. 删除结点的右结点为空，左节点不为空

  • 父节点为根节点

例：
在这里插入图片描述

直接将0置为根节点即可。

  • 父节点不为根节点。

例：
在这里插入图片描述

将0的父节点的左孩子的指向改为-1，再释放0结点。

4. 删除结点的左右结点都不为空

 这里我们就采用置换法的找左子树的最大节点进行值交换即可。

如果删除结点为根节点，由于我们置换的是值，再对交换后的结点进行讨论：

  1. 交换后的结点，必然不为根节点。
  2. 交换后的结点的右结点必然为空。
  3. 交换后的结点的左节点可能不为空。
  4. 交换后的结点，其父节点的左边可能为交换后的结点，父节点的右边也坑为交换后的结点，就此点展开讨论。

说明：交换后的结点，原先为左子树的最大节点，我们用left_most_node进行表示。

  • 父节点的左节点为left_most_node

例：
在这里插入图片描述

待删除结点为1，left_most_node为0，值交换后1变0, 0变1，然后父节点的左节点指向left_most_node的左结点即可。

  • 父节点的右节点为left_most_node

例：
在这里插入图片描述

待删除结点为1，left_most_node为-1，值交换后1变-1, -1变1，然后父节点的右节点指向left_most_node的左结点即可。

 如果连普通的二叉搜索树的相关知识有所缺陷，可以看一下我之前写的这篇文章——二叉搜索树。本文的普通二叉树的删除，也是源自于这篇文章。

二、AVL树的删除

 说明一点，在正式讲AVL树之前，最好先把AVL树的插入及四种旋转了解清楚，因为删除说白了就是在这个基础上分类讨论的结果。

如果不清楚, 请看此篇文章：AVL树的插入与验证

OK，铺垫完成，正文开始。

删除时，再基于上面删除的四种情况外，我们还要考虑两大类情况。即整棵树的高度变化（降一） + 高度不变化。高度变化会影响上面的树的平衡因子，因此需要向上更新。

1. 删除结点，整棵树的高度不变化

两种情况，parent的平衡因子为0或者为2

1.1 parent的平衡因子在删除结点之前为0

1.1.1 删除结点为parent的左节点

在这里插入图片描述

整棵树的高度未发生变化，调整结束。

1.1.2 删除结点为parent的右节点

情况与左节点类似，上面理解，这块可以不用看。

在这里插入图片描述

整棵树的高度未发生变化，调整结束。

1.2 parent的平衡因子在调整过程中为2

1.2.1 删除结点为parent的左节点

1.2.1.1 parent的右节点的平衡因子为0

在这里插入图片描述

进行左旋，更新parent_right和parent的平衡因子分别为 -1 与 1，整棵树的高度不发生变化，调整结束。

1.2.1.2 parent的右节点的平衡因子为1

在这里插入图片描述

左旋之后，parent与parent_right的平衡因子变为0，结束调整。

1.2.2 删除结点为parent的右节点

情况与左节点类似，上面理解，这块可以不用看。

1.2.2.1 parent的左节点的平衡因子为0

在这里插入图片描述

进行右旋，更新parent_left与parent的平衡因子分别为1与-1，调整结束。

1.2.2.2parent的左节点的平衡因子为 -1

在这里插入图片描述

进行右旋，更新parent_left与parent的平衡因子0，调整结束。

2. 删除结点，整棵树的高度变化

2.1 删除结点为parent的左节点

2.1.1 parent的平衡因子在删除结点之前为 -1

在这里插入图片描述

调整parent的平衡因子为0，继续向上进行调整。

2.1.2 parent的平衡因子为2且parent的右结点的平衡因子为-1

为了便于描述。这里把parent右节点记作Pright,Pright的左节点记作PRleft

2.1.2.1 PRleft的平衡因子为1

在这里插入图片描述

进行右左双旋，且把parent的平衡因子调整为-1，PRleft的平衡因子调整为0，Pright的平衡因子调整为0。

2.1.2.2 PRleft的平衡因子为-1

在这里插入图片描述

进行右左双旋，且把parent的平衡因子调整为0，PRleft的平衡因子调整为0，Pright的平衡因子调整为1。

2.2 删除结点为parent的右节点

2.1.1 parent的平衡因子在删除结点之后为 0

在这里插入图片描述

parent的平衡因子改为0，继续向上调整。

2.1.2 parent的平衡因子为-2且parent的左节点的平衡因子为1

为了便于描述。这里把parent左节点记作Pleft,Pleft的右节点记作PLright

2.1.2.1 PLright的平衡因子为 1

在这里插入图片描述

进行左右双旋，调整PLright的平衡因子为0，parent的平衡因子为0，Pleft的平衡因子为-1。继续向上进行调整。

2.1.2.2 PLright的平衡因子为-1

在这里插入图片描述

进行左右双旋，调整PLright的平衡因子为0，parent的平衡因子为0，Pleft的平衡因子为-1。继续向上进行调整。

实现代码

  • 每个人的写出来的代码可能不一样，但思路还是一致的，因此重点不在代码，而在分析思路上，这里只是贴出来方便大家对照。
		Node* find(const Key &val)
		{
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key > val)
				{
					//左子树中查找
					cur = cur->_left;
				}
				else if (cur->_key < val)
				{
					//右子树中查找
					cur = cur->_right;

				}
				else
				{
					//找到了
					return cur;
				}
			}
			return nullptr;
		}
		//为了避免删除时的代码过于冗余，将重复利用的代码写成一个函数较好。
		void UpDateBFactor(Node* parent, Node* cur)
		{
			while (parent)
			{

				if (parent->_left == cur)
				{
					parent->_bf++;
				}
				else
				{
					parent->_bf--;
				}

				//判断平衡因子
				if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
				{
					break;
				}
				else if (parent->_bf == 0)
				{
					cur = parent;
					parent = parent->_parent;
				}
				else if (parent->_bf == 2)
				{
					if (parent->_right->_bf == 0)
					{
						//进行左单旋
						Node* parent_right = parent->_right;
						RotateL(parent);
						parent->_bf = 1;
						parent_right->_bf = -1;
						//高度不变
						break;
					}
					else if(parent->_right->_bf == 1)
					{
						//左单旋

						RotateL(parent);
						//更新平衡因子
					}
					else
					{
						//进行右左双旋
						RotateRL(parent);
					}
					cur = parent->_parent;
					parent = cur->_parent;
				}
				else if (parent->_bf == -2)
				{
					//这还有一种特殊情况
					if (parent->_left->_bf == 0)
					{
						Node* parent_left = parent->_left;
						RotateR(parent);
						parent->_bf = -1;
						parent_left->_bf = 1;
						//此时高度不变
						break;
					}
					else if (parent->_left->_bf == -1)
					{
						//右单旋
						RotateR(parent);
						//高度降低1
					}
					else
					{
						//左右双旋
						RotateLR(parent);
						//高度降低1
					}
					cur = parent->_parent;
					parent = cur->_parent;
				}
				else
				{
					cout << parent->_key << ":";
					perror("平衡因子有误");
					exit(-1);
				}
			}
		}
		//AVL树结点的删除
		bool erase(const Key& val)
		{
			Node* cur = find(val);
			//对cur进行判空
			if (cur == nullptr)
			{
				//说明没找到。
				return false;
			}
			else
			{
				Node* parent = cur->_parent;
				Node* delnode = cur;
				Node* delparent = cur->_parent;

				//更新平衡因子，然后判断旋转与删除。
				//左加加，右减减
				//分析四种情况
				//1.cur的left和right都为空。
				//2.cur的left为空，right不为空。
				//3.cur的right为空，left不为空。
				//4.cur的right与left都不为空。
				//在此基础上还要判断cur是否为根节点。

				//1.cur的left和right都为空。
				if (cur->_left == nullptr && cur->_right == nullptr)
				{
					//更新平衡因子
					//判断cur是否为根节点
					if (cur == _root)
					{
						_root = nullptr;
					}
					else
					{
						
						UpDateBFactor(parent, cur);
						//将父节点的指向清空
						parent = delnode->_parent;
						if (parent->_left == delnode)
						{
							parent->_left = nullptr;
						}
						else
						{
							parent->_right = nullptr;
						}
					}
					//删除结点。
					delete delnode;
				}
				//左不为空，并且右为空
				else if (cur->_left && cur->_right == nullptr)
				{
					if (cur == _root)
					{
						//更改根节点
						_root = cur->_left;
						//改变根节点的父节点的指向，因为平衡因子的绝对值必然小于等于1，
						//因此其左节点只有一个结点。
						//因此只需更改父节点的指向即可。
						_root->_parent = nullptr;
						//无需更新平衡因子
						delete delnode;
					}
					else
					{
						Node* cur_left = cur->_left;
						//更新平衡因子
						UpDateBFactor(parent, cur);
						//更新cur_left到cur的位置
						cur_left->_parent = delnode->_parent;
						//更新其父节点的指向
						if (parent->_left == delnode)
						{
							parent->_left = cur_left;
						}
						else
						{
							parent->_right = cur_left;
						}
						//删除delnode
						delete delnode;
					}
				}
				else if (cur->_left == nullptr && cur->_right)
				{
					if (cur == _root)
					{
						//更新根节点
						_root = cur->_right;
						//说明：为了保证树为AVL树，cur->_right必然无左右孩子
						//更新根节点的信息
						_root->_parent = nullptr;
						//释放delnode
						delete delnode;
					}
					else
					{
						Node* parent = cur->_parent;
						Node* cur_right = cur->_right;
						//更新平衡因子
						UpDateBFactor(parent, cur);
						//首先改变cur_right的父节点的指向
						cur_right->_parent = delparent;
						//其次改变parent其孩子的指向
						if (delparent->_left == delnode)
						{
							delparent->_left = cur_right;
						}
						else
						{
							delparent->_right = cur_right;
						}
						//最后删除cur
						delete delnode;
					}
				}
				//4.cur的right与left都不为空。
				else
				{
					//可以找左子树的最大节点，也可以找右子树的最小节点。
					//进行交换，然后更新平衡因子
					Node* mostleft = cur->_left;
					while (mostleft && mostleft->_right)
					{
						mostleft = mostleft->_right;
					}
					Node* curr = mostleft->_left;

					//直接进行赋值。
					cur->_key = mostleft->_key;
					cur->_val = mostleft->_val;
					Node* parent = mostleft->_parent;

					UpDateBFactor(parent,mostleft);

					if (mostleft == cur->_left)
					{
						if (curr != nullptr)
						{
							//改变cur与curr的指向。
							curr->_parent = cur;
							cur->_left = curr;
						}
						cur->_left = curr;
					}
					else
					{
						Node* parent = mostleft->_parent;
						parent->_right = curr;
						if (curr != nullptr)
						{
							//改变curr的父节点的指向
							curr->_parent = parent;
						}
					}
					//释放mostleft
					delete mostleft;
					//更新平衡因子
				}
					return true;
				}
			}

详细图解（建议收藏）

总结

删除的例子我们已经举完了，那么这里我们再总结一下：

  1. 调整完后，整棵树的高度变化（降低一个高度），会影响上面树的高度，需要向上调整。
  2. 调整完后，整棵树的高度不变，不会影响上面树的高度，无需调整。
  3. 最坏调整到根节点结束。

具体情况的分析，我等价替换一下：

  • 以删除的结点为左节点举例。
  1. parent的平衡因子为2，且其右节点的平衡因子为-1，等价于插入的右左双旋。
  2. parent的平衡因子为2，且其右节点的平衡因子为1， 等价于插入的左双旋。

说明： 这里的等价是包括平衡因子的调整的！

  • 核心情况
  1. parent的平衡因子为2且parent_right的平衡因子为0.
    在这里插入图片描述

这种情况是需要我们在插入的基础上，进行左旋之后，手动调平衡因子的。

  1. 在更新平衡因子时，插入是左减减，右加加。删除是左加加，右减减。
  2. 判断是否需要向上更新时，插入是1或者-1向上调整，删除是0向上调整。

 其实分析了那么多情况，其实也就这几点需要我们真正注意的，剩余的用插入剩下的轮子套用即可。

 最后如果觉得文章不错的话，点个赞鼓励一下吧！

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