一、说明

我努力理解傅里叶变换，直到我将这个概念映射到现实世界的直觉上。这是一系列技术性越来越强的解释中的第一篇文章。我希望直觉也能帮助你！

二、傅里叶变换中频域简介

声音是一种机械波，是空气中的振动或其他介质。音符对应于波的频率。高频波对应于高音符（高压和低压之间的变化较快），低频波对应于低音符（高压和低压之间的较慢变化）。

这些波随着时间的推移在空间中传播。当波到达麦克风时，它会摆动一种称为振膜的结构。隔膜的运动产生电流，这使我们能够记录加压和减压的速率。

***图 1***：对于纯音，压力随时间变化绘制一个简单的正弦曲线。对于复杂音调，即纯音调的混合，压力随时间变化绘制正弦波的总和。

如果我们考虑一个静止的麦克风，当波通过它时，记录的压力变化是时间的函数。时间域中的这种表示与我们的直觉非常吻合：随着时间的推移，压力会以与频率相对应的速度周期性地增加和减少。更复杂的音调是多个频率的总和组合（图 1）。

信号在时域中的这种表示是密集的：对于大多数域，它不为零。但我们知道，我们可以更简洁地谈论音乐基调，而不是描述每个时间点的压力。相反，我们可以简单地命名一个音符，或者等效地以赫兹（Hz）表示频率：每秒的周期数。

在频域中，x轴表示频率，y轴是信号中的频率量。对于图1中描述的简单音调，频域中的这种描述是稀疏的：对于大多数域，它为零。

傅里叶变换是一种数学运算，它将我们在时域或空间域中的信号映射到频域中的函数。

傅里叶变换正是我们想要的！它采用我们在图1中绘制的密集时间信号，并给出图2在频域中的稀疏描述。从图中看，每个分量频率都很明显。

图 2：对于图 1 中的相同三个信号，离散傅里叶变换的正频率项的幅度。x 轴值对应于窗口时间段内的周期数。

如果我们将图1中信号的时间持续时间视为一秒，则图2中的x轴值对应于赫兹。傅里叶变换为第一个图恢复 5Hz，为第二个图恢复 25Hz，为第三个复音恢复组合。对于所有其他频率值，傅里叶变换的值约为零。目前，我们只考虑量级，我们将在以后的帖子中探索更多！

**图 3**：使用 Tone Gen 应用程序播放 440Hz 音调时使用我的存储库源进行音频绘图！

我发现在实时音频数据上试验傅里叶变换最有价值！我把一个小的Python存储库放在一起，试验傅里叶变换的结果，应用于从计算机麦克风记录的短片段。

查看来源！尝试乐器和环境声音。

三、傅里叶变换---了解相位角

在上一节中，可视化专门讨论了傅里叶变换的大小。在这里，我们将扩展缺失的部分：相位！在上节中，我展示了如何使用傅里叶变换的幅度来估计信号的频率分量。然而，仅凭频率，我们无法完美地重建信号;我们需要相位！

图 2-1：三个相同的正弦波相位偏移。图片由作者提供。

如果我们查看纯音音频文件，但将信号从左向右移动怎么办？

在我们前面的音频示例中，这带来了挑战。左侧的所有三个信号（图1）具有相同的频率。高压和低压之间的振荡速率是相同的。唯一的区别是起始位置，从左到右移动。

我们可以将其表示为“相移”。三个信号是相同的频率，只是在振荡的起始位置偏移。查看三个生成方程，分别 — 0.5 * cos（5x）、05 * cos（5x + 1）和 0.5 * cos（5x + 2） — 此偏移量表示为余弦表达式中的求和值，即 0、1 和 2。

图 2-2：使用傅里叶变换的 np.angle 恢复的近似相位。图片由作者提供。

该相位信息也用傅里叶变换表示，可以使用numpy“角度”函数恢复。如果我们查看与具有最大幅度的频率相同的指数处的相位值，我们可以确定与该频率分量相关的相位偏移。在这里（图 2），傅里叶变换从上面的方程中恢复 0、1 和 2！

四、傅里叶变换，应用（3）：复杂数据中的幅度和相位编码

我们已经建立了常识性的理解，即傅里叶变换的幅度和相位值可以告诉我们信号的复合频率。现在，我们将进站了解 np.abs 和 np.angle 函数如何在引擎盖下工作。为此，我们还将介绍复数的工作定义！

4.1 复数基础知识

在本系列的后面，我们将在处理复数时获得更多技术性。不过，就目前而言，我们只需要将复数识别为两部分的复合：实分量和虚分量。

我们很快就会回到复数的一些神奇性质（并介绍一位名叫欧拉的特别嘉宾），但为了达到量级和相位，我们可以将复数视为简单的二维值。每个复数都是一对实值和一个虚值。像任何二维一样，我们可以绘制这些复杂的对。按照惯例，我们通常将实部放在 x 轴上，将虚部放在 y 轴上。

图 1：可视化幅度和相位。图片由作者提供。

我们复数的虚部是 i 的倍数（或 j，取决于你问谁）：√（-1）。在左边，我可视化了复数 1+1j。实值为 1，虚值为 1 的复数。同样，实部分量在 x 轴上，虚部分量在 y 轴上。正如预期的那样，这使我们直接处于第一象限。

现在，我们不需要太担心为什么 y 轴表示为 j 的系数。只要你接受我们可以将这个虚值视为第二维度，几何直觉就会起作用。我们会回来的，我保证！

傅里叶变换返回的值很复杂。在这些复数值上调用 np.abs 会给我们每个复值的大小。对这些复数值调用 np.angle 会给出每个复数值的相位角。通过这种方式，幅度和相位被编码在傅里叶变换的复数值中。

4.2 重新实现 np.abs

复数的大小只是到原点的欧几里得距离（0+0j）：平方和的平方根。如上图所示，对于 1+1j，这是 √（1² + 1²）≈1.41（想想勾股定理！下面，我包含了任意复数的逻辑：

def abs(complex_number: complex) -> float:  # pylint: disable=redefined-builtin
    """
    Get the magnitude (abs) of complex number.
    Args:
        complex_number: Complex number.
    Returns:
        Magnitude.
    """

    real_component = complex_number.real
    imaginary_component = complex_number.imag

    # calculate distance to origin
    sum_of_squares = (real_component ** 2) + (imaginary_component ** 2)
    sqrt_of_sum_of_squares = sum_of_squares ** (1 / 2)

    return sqrt_of_sum_of_squares


assert abs(1 + 1j) == np.abs(1 + 1j)
assert abs(2 * (1 - 1j)) == np.abs(2 * (1 - 1j))
assert abs(3 * (-1 + 1j)) == np.abs(3 * (-1 + 1j))
assert abs(4 * (-1 - 1j)) == np.abs(4 * (-1 - 1j))

4.3 重新实现 np.angle

复数的相位是标准角（从右顺时针方向）。如上图所示，对于 1+1j，这是 arctan2（1， 1）≈0.79 弧度。检查度数（0.79弧度 * 180° / π弧度≈ 45°），该值正确反映了上图的角度。如果 arctan 使您的血压飙升，请花一分钟时间查看允许我们恢复这个角度的逆三角恒等式！

下面，我包含了任意复数的逻辑：

def angle(complex_number: complex) -> float:
    """
    Get phase (angle) of complex number.
    Args:
        complex_number: Complex number.
    Returns:
        Phase angle.
    """

    real_component = complex_number.real
    imaginary_component = complex_number.imag

    return np.arctan2(imaginary_component, real_component)


assert angle(1 + 1j) == np.angle(1 + 1j)
assert angle(2 * (1 - 1j)) == np.angle(2 * (1 - 1j))
assert angle(3 * (-1 + 1j)) == np.angle(3 * (-1 + 1j))
assert angle(4 * (-1 - 1j)) == np.angle(4 * (-1 - 1j))

伟大！盘点一下，我们现在对傅里叶变换的大小和相位的含义有了很好的直观把握。我们对复数有一个基本的处理方法，以及从中恢复幅度和相位信息的方式。

接下来，我们将研究傅里叶逆变换（IFFT），并展示我们可以使用迄今为止开发的工具包完成什么！

如果代码或文本对您有价值，请为文章鼓掌！感谢您的阅读！

五、傅里叶变换应用：让 FFT 发挥作用

现在，我们拥有了演示FFT的一些实际用例所需的所有工具！

5.1 介绍金融交易

到目前为止，我们已经将傅里叶变换视为数学黑盒运算。同样，我们现在将介绍傅里叶逆变换，而不剖析实现细节。傅里叶逆变换（IFFT）让我们反转FFT！

傅里叶逆变换是一种数学运算，它将频域中的函数映射到时域或空间域中的函数信号。

arr = np.random.normal(loc=0, scale=10, size=20)
np.allclose(np.fft.ifft(np.fft.fft(arr)), arr)
# >>> True

IFFT（FFT（x）） ≈ x，反性质成立！

至关重要的是，这种逆运算允许我们在频域和时空/空间域之间跳转，以最方便的方式操作我们的数据。

5.2 傅里叶变换的应用

让我们开始玩弄傅里叶变换的实际应用吧！

5.2.1 滤波和去噪

FFT为我们提供了宝贵的“去噪”技术，以抑制或消除数据中的伪影。首先，让我们考虑一个近似静止的信号，它受到一些低功耗白噪声的影响。为了进行演示，我们可以使用与之前相同的纯音信号（图 1，“无噪声信号”）。此外，让我们在该信号中添加一些高斯噪声（图 1，“噪声信号”）。

就像我们之前所做的那样，我们可以使用傅里叶变换来查看频率分量（图 1，“无噪声 FFT”和“噪声 FFT”）。

图 1：简单的去噪，用于消除纯音信号中的低功耗噪声。图片由作者提供。

超级有趣！在FFT中，我们可以看到我选择添加的噪声的一些属性。我添加的高斯噪声是零平均加性“白”噪声：它在整个频率上的强度大致相等。

尽管噪声在时域中看起来非常可怕，但在频域中很容易分离出来。查看傅里叶变换的幅度值，我们可以将振幅可视化为频率的函数。在这个简单的情况下，我们可以很容易地完美地恢复我们的无噪音信号！由于信号和噪声之间有清晰的分离，我们可以设置一个硬阈值并降低（即设置为零）低幅度分量。将值保持在阈值以上（图 1，绿色的“噪声 FFT”）并将值放在阈值之前（图 1，红色的“噪声 FFT”），我们可以得到一个很好的无噪声信号重建（图 1，“去噪信号”）！

我们通常不会那么幸运。现实世界的噪音可能更令人讨厌！在许多情况下，噪声可能比我们的信号大。不过，我们还可以使用许多其他方法！

为了介绍一种常见的滤波方法，让我们看一下带通滤光片。带通滤波器由两个阈值组成：（1）去除低于某个阈值的频率的滤波器，允许更高的频率通过（即“高通”）和（2）去除高于某个阈值的频率的滤波器，允许较低频率通过（即“低通”）。这两个滤波器组合在一起，只允许低频截止和高频截止之间的频率“带”通过。

让我们在信号中添加一些高频分量。在实践中，这些可能是我们环境中不需要的音损（例如，在我们的声音示例中，环境中不受控制的音频源）。