🌍二叉树的顺序结构

二叉树的顺序存储是指将二叉树中的所有节点按照一定的顺序（一层一层）存储到一个数组中。

我们可以通过数组下标来表示节点之间的父子关系。

找左孩子节点：leftchild = parent * 2 + 1
找右孩子节点：rightchild = parent * 2 + 2

例如，找B的左孩子 : B的下标 * 2 + 1，得到3 ，即为D。

找父亲节点：parent = （ child -1 ）/ 2

例如，找G的父母：（G的下标-1）/ 2 得到 2 ，即为C 。

需要注意的是，二叉树的顺序存储适用于满二叉树或完全二叉树的情况，对于其他类型的二叉树，顺序存储可能会造成空间浪费或访问效率低下的问题。

例如：

这类二叉树不适合顺序存储，适合链式存储。

🔭 堆

数据结构中还衍生出了一个结构 —— 堆，堆是非线性结构，也是一种完全二叉树。堆的两个常见类型是大堆和小堆。在大堆中，父节点的值总是大于或等于其子节点的值；而在小堆中，父节点的值总是小于或等于其子节点的值。堆通常用数组来实现。
所以，对于任意一个数组是可以看作一颗完全二叉树，但不一定是堆。

🌏 代码实现

这里将实现堆的插入和删除，以小堆为例。
堆的结构特点是：存储结构——数组，逻辑结构——完全二叉树。所以可以定义结构体为：

typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
	HPDataType* a;
	int size;
	int capacity;
}HP;

✉️ 堆的插入

插入的需求为：无论如何插入，都必须保持为堆。因为存储结构是数组，所以选择效率更快的尾插，然后再进行调整（插入的数据会影响它的祖先）。
调整部分有这样的3种场景：

不会影响祖先

2.影响部分，但不影响到根。

3.影响到全部祖先

注：这种调整是向上调整。时间复杂度为 O(logN)

💫调整的条件：
在这里插入图片描述

📙实现代码：

//交换数据
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
	HPDataType tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}
//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if(a[parent] > a[child])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (parent - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
//插入数据
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);
	if (php->capacity == php->size)
	{
		int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a,sizeof(HPDataType) * newCapacity);
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			exit(-1);
		}
		php->a = tmp;
		php->capacity = newCapacity;
	}
	php->a[php->size] = x;
	php->size++;
    //向上调整
	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

✉️ 堆的删除

在堆中，删除栈顶元素才是有意义的，这样经过调整后，根就是次小或次大的值。由于堆的存储结构是数组，尾插尾删的效率很高，所以可以考虑将根和最后一个数组元素交换，然后不断调整。
①

这样的操作之后，可以发现一个特性：左右子树依旧是小堆。

②

注：这种调整方式为向下调整，时间复杂度为O(logN)。

💫调整条件：
当子节点的下标超出数组范围时，说明已经没有子节点了，已经换到了叶子。（针对实现的代码而言，是已经没有了左孩子，因为堆是完全二叉树，自然也就没有右孩子，说明换到了叶子）

📙实现代码：

//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;//假设左孩子最小
	while (child < n)
	{
		if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child])//注意判断child+1是否越界
		{
			//修正
			child++;
		}
		
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			//调整
			parent = child;
			child = child * 2 + 1;
		} 
		else
		{
			break;
		}
	}
}
//删除数据
void HeapPop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);
	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	php->size--;
	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

✉️ 其他部分

一些简单的接口：

//初始化
void HeapInit(HP* php)
{
	assert(php);
	php->a = NULL;
	php->size = 0;
	php->capacity = 0;
}
//销毁
void HeapDestroy(HP* php)
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->capacity = php->size = 0;

}
//打印元素
void HeapPrint(HP* php)
{
	assert(php);
	int i = 0;
	for (i = 0; i < php->size; i++)
	{
		printf("%d ", php->a[i]);
	}
	printf("\n");
}
//取堆顶元素
HPDataType HeapTop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	return php->a[0];
}
//判空
bool HeapEmpty(HP* php)
{
	assert(php);

	return php->size == 0;
}