二进制到十进制转换

1、概述

二进制数在数字系统和计算机中用于计算数据。 此外，数字系统之间的数据传输或接口也使用二进制数来传输信息。 从上一篇文章中[从[杂谈]-从硬件角度理解二进制数我们知道，二进制数是以2为基数的数字，这意味着它只有两 (2) 个数字来表示数字的值。 这些数字从 0 开始，到 1 结束，总共有两 (2) 个数字作为一个数字的值。 二进制数可以包含多于一个这样的数字，例如二进制数(1001102)具有六(6)个二进制数字。 数字末尾的下标2表明它是一个以2为底的数字，即二进制数。

然而，最常用的计数进制是十进制，它是一种以 10 为基数的计数系统。 十进制数中的每个数字可以具有从 0 开始到 9 结束的十 (10) 个值中的任意一个。与二进制数一样，十进制数可以包含多个数字。 例如，$(38240{)}_{10}$ 数字有五 (5) 位，下标 10 表明它是基于 10 的数字，即十进制数字。 同样，十进制数的加（+）、减（-）、乘（×）和除（÷）运算，这些数学运算也可以应用于其他计数系统。

计数系统中的每个数字都包含一个值或权重，并从左到右递增。 从左到右，每个数字的值或权重比其前一个数字增加基数倍。 这意味着数字权重或值由提高到数字位置的基值给出。 最低有效数字 (Least Significant Digit ，LSD) 的位置为零 (0)。 例如，十进制数八十二 $(82{)}_{10}$ 有两个数字，即8)和2。 2是从小数右侧开始位置为零 (0) 的最低有效数字，因此其权重为 $10^0 $(1)。 同样，第二个数字（在本例中为最高有效数字）的位置为1，其权重为 $10^1$ (10)。 因此，从右到左，对于十进制数，即 1、10、100、1000 等，每个数字的权重增加十 (10) 倍。同样，对于二进制数，权重增加两 (2) 倍 即 1、2、4、8、16、32 等。

从数学上来说，数字是加权和，由下式给出：

$$N=\sum b_i\times q^i$$

其中，

• N为实数
• b为位数
• q为基值
• i为位数位置值

2、十进制计数系统

如前所述，在十进制数中，从小数点开始，每个数字的值会增加十 (10) 倍，即 100、$10^1$、$10^2$、$10^3$、$10^4$ 等。同样，每个数字的值会减少十 (10) ) 次，我们从小数点向右移动以计算分数，例如 $10^{-1}$、$10^{-2}$、$10^{-3}$、$10^{-4}$ 等。这是因为十进制数以 10 为底（模 10），每个数字的位置指示该数字的权重或大小，即 q = 10. 例如，这意味着50可写为 $5\times 10^1$，500可写为 $5\times 10^2$。 如上所述，十进制数等于其各位数字之和乘以各自的权重。 在下面的文本中，一个十进制数 (N = 4125) 以十进制格式显示，其中包含每个数字及其权重。

以$b\times q$的形式如下：

在十进制数或任何其他数字系统中，最右边的数字是最低有效数字 (LSD)，最左边的数字是最高有效数字 (MSD)。 接下来，对于上面的示例，5是最低有效数字 (LSD)，其权重最低，即1。 同时，4是最高有效数字 (MSD)，其权重最高为一千 (1000)。

3、二进制计数系统

正如本文前面所讨论的，二进制计数系统是数字和计算机系统中的基本计数系统。 与十进制系统一样，二进制计数系统遵循相同的规则集，只不过二进制数是基数 2 的计数系统而不是基数 10。 这意味着二进制数字的权重变化为2次方，而不是10次方。 小数位的权重从小数点向右依次为$10^0、10^1、10^2、10^3、10^4$等。 然而，二进制数字的权重是$10^0、2^1、2^2、2^3、2^4$等。

此外，二进制数字可以保存 0 或 1，即两个值。 二进制数可以由多于一个二进制数字组成，并且每个二进制数字的权重或值比其前一个右侧二进制数字增加2倍。 因此，按照十进制计数系统，最右边具有最低权重的二进制数字（位）称为最低有效位（LSB）。 同样，最左边的二进制数字（位）拥有最高权重，称为最高有效位 (MSB)。 由于该位可以具有0或1，因此具有0值的位的权重无效，并且二进制计数系统可以由具有1值的数字的权重来表示。 下表显示了二进制数的位数及其等效的十进制值的权重。

当我们从右向左移动时，每个二进制数字（位）的权重随着每个数字的步长而增加（加倍）。 最低有效数字 (LSD) 的权重最低为1，最高有效数字 (MSD) 的权重最高为256。

4、二进制到十进制转换示例

将 8 位二进制数 $(11010011{)}_2$转换为其等效的十进制数。 下表列出了每个二进制数字（位）的权重及其十进制等效值。

现在，使用加权和的方法，可以得到这个二进制数的十进制等值。

因此，对于二进制数，可以通过值为1的数字权重之和轻松获得等效的十进制数。0值的数字与其权重的乘积为零，因此计入加权值中。

5、十进制到二进制转换

上面显示了使用加权和方法将二进制数转换为等效的十进制数。 为了将十进制数转换为等效的二进制数，可以使用重复除以2方法来实现。 在此方法中，给定的十进制数除以2，得到一个商和一个为 0 或 1 的余数。商被重复除以 2，连续产生一个余数，直到商变为零。 重复除法过程中获得的余数构成所需的二进制数。 第一个余值形成二进制数的最低有效位 (LSB)，最后一个剩余值形成二进制数的最高有效位 (MSB)。

在以下示例中，使用重复除以2方法将十进制数 $(238{)}_{10}$转换为二进制数。

同样的方法也可以用于将十进制数转换为另一种计数系统，只不过除以2被替换为计数系统的基值。

6、二进制数的名称和前缀

与十进制数一样，两个二进制数也可以一起加减。 结果数字的大小取决于相加或相减的二进制数的大小。 二进制数的大小由二进制位数（位数）给出，位数分为不同的大小和名称。 在下表中，位数被分为更大的组，并且还给出了它们各自的名称。

这里值得一提的是，在解释这些数字时应该小心，因为十进制数字（从 0 到 9）的数字值也包含在二进制和八进制计数系统中。 例如，数字 101 可能表示二进制、八进制或十进制数。 同样，数字 234 可以是八进制数或十进制数。 通常，没有任何基值或计数系统的数字表示十进制数。 最好将数字及其基值作为下标，例如 $101_2$（二进制数）或 $101_{10}$（十进制数）。

数字系统和计算机的内存大小以字节为单位，将8位组合在一起。 与其他测量单位一样，添加前缀来表示较大的值。 下表列出了最常用的表示二进制数的前缀。

7、总结

• 二进制数是一种以 2 为基数的计数系统，由称为位的二进制数字组成。
• 一个位的值可以是“0”或“1”，即它的值只能容纳两个数字。
• 位值的大小或权重是其前一位（从右到左）的两倍（2 的幂）。
• 最右边的位称为最低有效位 (LSB)，在二进制数中具有最低的权重。
• 最左边的位称为最高有效位 (MSB)，在二进制数中具有最高权重。
• 可以使用权重总和方法将二进制数转换为十进制数，该方法将每个数字的值与其权重的乘积相加。
• 可以使用重复除以 2 方法将十进制数转换为二进制数，该方法将十进制数除以商和余数。 余数构成所需的二进制数，直到除法结果为 0 商。 第一个和最后一个余数分别形成 LSB 和 MSB。
• 最好通过将基值写为下标来提及编号系统和数字，以避免误解。