1 图像金字塔

图像金字塔是图像多尺度表达的一种。

尺度，顾名思义，可以理解为图像的尺寸和分辨率。处理图像时，经常对源图像的尺寸进行缩放变换，进而变换为适合我们后续处理的大小的目标图像。这个对尺寸进行放大缩小的变换过程，称之为尺度调整。

图像金字塔则是图像多尺度调整表达的一种重要的方式，图像金字塔方法的原理是：将参加整合的每幅图像分解为拥有多个尺度的金字塔图像序列，越低分辨率的图像，位于金字塔的越上层，反之，越高分辨率的图像，则位于金字塔的越下层。金字塔的层数，则由下而上分别为0, 1, 2, …, N.

每一层的图像的大小都为上一层的1/4。

把这些不同尺度的金字塔图像按照上述规则组合起来，则得到一个形如金字塔的结构，即称为图像金字塔。

图像金字塔最初用于机器视觉和图像压缩，主要用于图像的分割和融合。

2 高斯金字塔和拉普拉斯金字塔

有两种类型的金字塔经常出现在文献和应用当中，它们分别是：

• 高斯金字塔(Gaussian Pyramid)：主要是用来向下采样（缩小）；
• 拉普拉斯金字塔(Laplacian Pyramid)：用来从金字塔低层图像重建上层未采样的图像，可以对图像进行最大程度的还原，配合高斯金字塔一起使用。

2.1 高斯金字塔

在图像向下取样中，一般分两步：
(1) 对图像$G_i$进行高斯卷积核（高斯滤波）；
(2) 删除所有的偶数行和列。

在第一步中，使用的高斯卷积核为：
$$\frac{1}{16}\left[\begin{array}{ccccc}1& 4& 6& 4& 1\\ 4& 16& 24& 16& 4\\ 6& 24& 36& 24& 6\\ 4& 16& 24& 16& 4\\ 1& 4& 6& 4& 1\end{array}\right]$$
卷积完成后，将偶数行和偶数列抽走删除，即得到下一层图像。

若是向上取样，一般也分两步：
(1) 对图像$G_{i+1}$ 增加偶数行和偶数列，都用0填充；
(2) 对图像进行高斯卷积，插值时滤波器乘以系数4。

2.2 拉普拉斯金字塔

在高斯金字塔下采样的过程中，可以看出图像信息出现了损失。这意味着如果下采样之后再上采样，图像并不能还原。图像将丢失掉部分高频信息。

此时如果想要保留图像的高频信息，则需要引入拉普拉斯金字塔：
$$L_i=G_i-PyrUp(PyrDown(G_i))$$
即第i层的拉普拉斯金字塔图像，先计算高斯金字塔下采样再上采样的图像$PyrUp(PyrDown(G_i))$，然后用第i层的原图$G_i$减去它。

3 OpenCV中的图像金字塔例程

3.1 pyrUp和pyrDown函数

OpenCV中的pyrUp函数原型为：

void cv::pyrUp(InputArray src,
			  OutputArray dst,
			  const Size & dstsize = Size(),
			  int borderType = BORDER_DEFAULT)

pyrDown函数原型为：

void cv::pyrDown(InputArray src,
				OutputArray dst,
				const Size & dstSize = Size(),
				int borderType = BORDER_DEFAULT)

其中，src为原始图像，dst为上采样/下采样的目标图像， dstSize为目标图像的尺寸， borderType为边界类型，这里默认为BORDER_DEFAULT.

3.2 Pyramids.cpp例程

原理部分讲述结束，下面进入OpenCV的例程：

OpenCV的Sample文件夹下有关于图像金字塔的例程：
samples/cpp/tutorial_code/ImgProc/Pyramids/Pyramids.cpp

#include "iostream"
#include "opencv2/imgproc.hpp"
#include "opencv2/imgcodecs.hpp"
#include "opencv2/highgui.hpp"
using namespace std;
using namespace cv;
const char* window_name = "Pyramids Demo";
int main(int argc, char** argv)
{
	cout << "\n Zoom In-Out demo \n "
		"------------------  \n"
		" * [i] -> Zoom in   \n"
		" * [o] -> Zoom out  \n"
		" * [ESC] -> Close program \n" << endl;
	const char* filename = argc >= 2 ? argv[1] : "../data/chicky_512.png";
	// Loads an image
	Mat src = imread(samples::findFile(filename));
	// Check if image is loaded fine
	if (src.empty()) {
		printf(" Error opening image\n");
		printf(" Program Arguments: [image_name -- default chicky_512.png] \n");
		return EXIT_FAILURE;
	}
	for (;;)
	{
		imshow(window_name, src);
		char c = (char)waitKey(0);
		if (c == 27)
		{
			break;
		}
		else if (c == 'i')
		{
			pyrUp(src, src, Size(src.cols * 2, src.rows * 2));
			printf("** Zoom In: Image x 2 \n");
		}
		else if (c == 'o')
		{
			pyrDown(src, src, Size(src.cols / 2, src.rows / 2));
			printf("** Zoom Out: Image / 2 \n");
		}
	}
	return EXIT_SUCCESS;
}

注意以上源码是被小白修改了的，因为小白的工程里面用于放缩的图片的位置是在data文件夹下

const char* filename = argc >= 2 ? argv[1] : "../data/chicky_512.png";

这个程序打开后会显示一幅小狗的图像，并一直等待键盘输入。

如果你输入一个"i"，则图像将被放大，即Zoom In；
如果你输入一个"o"，则图像将被缩小，即Zoom Out；
直到你输入一个"ESC"，程序退出。

但是这个程序只使用了高斯金字塔，反复测试几次你就会发现：如果先缩小了很多倍，再重新放大，那么由于下采样时总是在丢失图像信息，多操作几次之后，小狗的面目就变得非常模糊。
下图就是缩小了3次之后再放大到原始尺寸时所看到的小狗：

那么有没有办法把这个例程改造成可以带有拉普拉斯金字塔，可以在放缩后仍然还原原始分辨率细节的小狗图呢？当然有。

3.3 改造后的图像金字塔例程

使用STL中的stack来保存拉普拉斯金字塔图像，则可以简单地实现分辨率还原的功能：

#include "iostream"
#include "opencv2/imgproc.hpp"
#include "opencv2/imgcodecs.hpp"
#include "opencv2/highgui.hpp"
#include <stack>
using namespace std;
using namespace cv;
const char* window_name = "Pyramids Demo";
int main(int argc, char** argv)
{
	cout << "\n Zoom In-Out demo \n "
		"------------------  \n"
		" * [i] -> Zoom in   \n"
		" * [o] -> Zoom out  \n"
		" * [ESC] -> Close program \n" << endl;
	const char* filename = argc >= 2 ? argv[1] : "../data/chicky_512.png";
	// 加载一幅图像
	Mat src = imread(samples::findFile(filename));
	int picMaxWidth = src.cols;
	int picMaxHeight = src.rows;
	// 检查是否加载成功
	if (src.empty()) {
		printf(" Error opening image\n");
		printf(" Program Arguments: [image_name -- default chicky_512.png] \n");
		return EXIT_FAILURE;
	}

	// 用于存储拉普拉斯金字塔的栈结构
	stack<Mat> stackMat;

	for (;;)
	{
		imshow(window_name, src);
		char c = (char)waitKey(0);
		if (c == 27)												// ESC Key 则退出
		{
			break;
		}
		// 放大图像但不允许超过原图大小
		else if (c == 'i')
		{
			if (src.cols >= picMaxWidth)
			{
				printf("** cannot Zoom In: Image reaches max size!\n");
				continue;
			}
			pyrUp(src, src, Size(src.cols * 2, src.rows * 2));
			if (!stackMat.empty())
			{
				Mat temp;
				temp = stackMat.top();
				src.convertTo(src, CV_16SC3);						// 对图像格式进行转换，目的是进行负差值的正确计算
				src += temp;										// 取栈顶的拉普拉斯金字塔图像进行原图还原
				src.convertTo(src, CV_8UC3);						// 将图像还原成8位3通道，便于显示
				stackMat.pop();
			}
			printf("** Zoom In: Image x 2 \n");
		}
		// 缩小图像
		else if (c == 'o')
		{
			Mat temp1, temp2;
			src.copyTo(temp1);
			pyrDown(src, src, Size(src.cols / 2, src.rows / 2));
			pyrUp(src, temp2, Size(src.cols * 2, src.rows * 2));
			// 对图像进行格式转换， 目的是得到差值图像的正确负值
			temp1.convertTo(temp1, CV_16SC3);
			temp2.convertTo(temp2, CV_16SC3);
			temp1 -= temp2;											// 计算拉普拉斯金字塔差值图像
			stackMat.push(temp1);									// 将拉普拉斯金字塔压进栈中
			printf("** Zoom Out: Image / 2 \n");
		}
	}
	return EXIT_SUCCESS;
}

这段代码中：

• 通过一个stackMat来记录缩小时造成的图像信息损失；
• 通过压栈和出栈的方式保证每一层下采样时的拉普拉斯金字塔都能得以保存；
• 通过图像类型反复转换来保证在计算差值时能够正确地保留像素差的负值；
• 通过限制放大的倍率，防止在放大到超过原始图像分辨率，再重新下采样时造成不可逆的图像信息损失。

细节其实挺多，针对第三点和第四点简单铺开讲一下：

• 如果不进行图像类型的转换（大家可以试试把那几句图像类型转换的代码注释掉），那么在计算拉普拉斯金字塔时，图像差值将无法保留负值，这将会导致在反复缩放过程中，图像的部分信息发生丢失，小狗图中的高频细节会越来越亮，像下图中一样；
  

• 如果不限制图像的放缩倍率，那么当图像先放大到原始图像尺寸的2倍，再重新缩小到原始尺寸时，图像先经历了一次上采样，放大时的插值部分属于无中生有，再重新下采样时，就引入了信息失真，因此对原例程进行了修改，使其无法将图像放大到超过原始尺寸，这样就保证了在图像回到原始尺寸大小时，其图像细节能与原始图像保持一致。下图是如果不限制放大倍率，在放大超过原始尺寸后再重新回到原始尺寸时，图像的效果：（如果你将它和原始图像比较一下，会发现有细微的差别）
  

至此，小白和大家一起学习了这个例程，并对高斯图像金字塔和拉普拉斯图像金字塔有了更深层次的理解。