文章目录
- 动态规划（背包问题）
- 1. 01背包
- 2. 分割等和子集
- 3. 目标和
- 4. 最后一块石头的重量 ||
动态规划（背包问题）
1. 01背包
题目链接
-
状态表示
dp[i][j] 表示从前i个物品当中挑选，总体积不超过j,所有选法当中能挑选出来的最大价值 -
状态转移方程
-
初始化
-
填表
-
返回值
AC代码：
#include <iostream>
#include <cstring>
const int N = 1010;
int n, V, v[N], w[N];
int dp[N][N];
int main()
{
std::cin>> n >> V;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
std::cin>> v[i] >> w[i];
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 0; j <= V; j++)
{
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
if (j >= v[i]) {
dp[i][j] = std::max(dp[i][j], w[i] + dp[i - 1][j - v[i]]);
}
}
}
std::cout << dp[n][V] << std::endl;
memset(dp, 0, sizeof(dp));
for (int j = 1; j <= V; j++) dp[0][j] = -1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 0; j <= V; j++)
{
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
if (j >= v[i] && dp[i - 1][j - v[i]] != -1)
{
dp[i][j] = std::max(dp[i][j], w[i] + dp[i - 1][j - v[i]]);
}
}
}
std::cout << (dp[n][V] == -1 ? 0 : dp[n][V]) << std::endl;
return 0;
}
空间优化：
利用滚动数组做空间上的优化，遍历顺序需要从右到左
不需要解释优化后的状态表示，以及状态转移方程
优化后代码：
#include <iostream>
#include <cstring>
const int N = 1010;
int n, V, v[N], w[N];
int dp[N];
int main()
{
std::cin>> n >> V;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
std::cin>> v[i] >> w[i];
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = V; j >= v[i]; j--)
{
dp[j] = std::max(dp[j], w[i] + dp[j - v[i]]);
}
}
std::cout << dp[V] << std::endl;
memset(dp, 0, sizeof(dp));
for (int j = 1; j <= V; j++) dp[j] = -1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = V; j >= v[i]; j--)
{
if (dp[j - v[i]] != -1)
{
dp[j] = std::max(dp[j], w[i] + dp[j - v[i]]);
}
}
}
std::cout << (dp[V] == -1 ? 0 : dp[V]) << std::endl;
return 0;
}
2. 分割等和子集
题目链接
将一个数组分割成相同的两部分，就需要在整个数组里面找正好相等就可以。其实就是一个背包问题
-
状态表示
dp[i][j]表示 0 到 i 区间内正好等于是否可以满足正好等于 j -
状态转移方程
-
初始化
第一列为true ，当目标是0是肯定可以满足
-
填表
-
返回值
AC代码：
class Solution
{
public:
bool canPartition(vector<int>& nums)
{
int n = nums.size();
int sum = 0;
for (auto x : nums) sum += x;
if (sum % 2) return false;
int aim = sum / 2;
vector<vector<bool>> dp(n + 1, vector<bool>(aim + 1));
for (int i = 0; i <= n; i++) dp[i][0] = true;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= aim; j++)
{
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
if (j >= nums[i - 1])
dp[i][j] = dp[i][j] || dp[i - 1][j - nums[i - 1]];
}
}
return dp[n][aim];
}
};
利用滚动数组进行优化：
class Solution
{
public:
bool canPartition(vector<int>& nums)
{
int n = nums.size();
int sum = 0;
for (auto x : nums) sum += x;
if (sum % 2) return false;
int aim = sum / 2;
vector<bool> dp(aim + 1);
dp[0] = true;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = aim; j >= nums[i - 1]; j--)
{
dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i - 1]];
}
}
return dp[aim];
}
};
3. 目标和
题目链接
分析题目，a 代表所有正数的和，b则代表所有负数的和
a - b = target a + b = sum 所以a = (target + sum) / 2
所以最终求的是是否可以让这个数是a
-
状态表示
dp[i][j]表示从 i 个中选正好等于j 有多少中选法 -
状态转移方程
-
初始化
-
填表
-
返回值
AC代码：
class Solution
{
public:
int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target)
{
int sum = 0;
for (auto x : nums) sum += x;
int aim = (sum + target) / 2;
if (aim < 0 || (sum + target) % 2) return 0;
int n = nums.size();
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(aim + 1));
dp[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 0; j <= aim; j++)
{
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
if (j >= nums[i - 1])
{
dp[i][j] += dp[i - 1][j - nums[i - 1]];
}
}
}
return dp[n][aim];
}
};
4. 最后一块石头的重量 ||
题目链接
这个题目就是在一个数组当中选一些数字，让这些数字尽可能的接近sum / 2
-
状态表示
dp[i][j]表示 i 中选，总体积不超过j此时的最大和 -
状态转移方程
-
初始化
-
填表
-
返回值
AC代码：
class Solution {
public:
int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {
int sum = 0;
for (auto x : stones) sum += x;
int n = stones.size(), m = sum / 2;
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1));
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 0; j <= m; j++)
{
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
if (j >= stones[i - 1])
{
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - stones[i - 1]] + stones[i - 1]);
}
}
}
return sum - 2 * dp[n][m];
}
};
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
if (j >= stones[i - 1])
{
dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - stones[i - 1]] + stones[i - 1]);
}
}
}
return sum - 2 * dp[n][m];
}
};
