1.647回文子串

参考：代码随想录，647回文子串；力扣题目链接

1.1.题目

1.2.解答

动规五部曲：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。

注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。

2.确定递推公式

在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。

整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。

（1） 当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。

（2） 当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况

• 情况一：下标i与 j 相同，同一个字符例如 a，当然是回文子串
• 情况二：下标i与 j 相差为1，例如 aa，也是回文子串
• 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如 cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看 i到j 区间是不是回文子串就看 aba 是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

以上三种情况分析完了，那么递归公式如下：

if (s[i] == s[j]) {
    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
        result++;
        dp[i][j] = true;
    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
        result++;
        dp[i][j] = true;
    }
}

result就是统计回文子串的数量。

注意这里我没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候，因为在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。

3.dp数组如何初始化

dp[i][j]可以初始化为true么？ 当然不行，怎能刚开始就全都匹配上了。

所以dp[i][j]初始化为false。

4.确定遍历顺序

遍历顺序可有有点讲究了。

首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图：

如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。

所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

代码如下：

for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {  // 注意遍历顺序
    for (int j = i; j < s.size(); j++) {
        if (s[i] == s[j]) {
            if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                result++;
                dp[i][j] = true;
            } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
                result++;
                dp[i][j] = true;
            }
        }
    }
}

5.举例推导dp数组

举例，输入："aaa"，dp[i][j]状态如下：

图中有6个true，所以就是有6个回文子串。

最后给出代码如下，注意其中有很多赋值false的地方都是可以省略的，因为dp数组初始化都是false。但是这里为了逻辑的完备性方便理解，把所有的状态都写进去了：

int countSubstrings(string s)
{
    // 1.定义dp数组并初始化
    vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));

    int result = 0;   // 最终结果

    for(int i = s.size()-1; i >= 0; i--)
    {
        for(int j = i; j < s.size(); j++)
        {
            // 1.如果当前起始字符和结束字符不相等，那么肯定就不是回文了
            if(s[i] != s[j])   
                dp[i][j] = false;
            else
            {
                // 2.否则如果相等，则判断字符长度：
                //  2.1.如果是1或2，比如a或aa的情况，自然是回文
                if(j - i <= 1)
                {
                    result++;   // 总的回文字符个数+1
                    dp[i][j] = true;  // 标记当前开始和结束位置构成的字符串是回文串
                }
                //  2.2.如果长度超过2，则需要判断各自往里收缩一个字符得到的子串是否是回文串，
                //      这里就用到了动态规划：即当前位置的状态取决于上一个位置的状态
                else 
                {
                    if(dp[i+1][j-1])    // 内部的子串是回文串
                    {
                        result++;   
                        dp[i][j] = true;
                    }
                    else    // 内部子串不是回文串
                    { 
                        dp[i][j] = false;
                    }
                }

            }
            
        }
    }

    return result;
}

2.516最长回文子序列

参考：代码随想录，516最长回文子序列；力扣题目链接

2.1.题目

2.2.解答

我们刚刚做过了 动态规划：回文子串，求的是回文子串，而本题要求的是回文子序列， 要搞清楚这两者之间的区别。

回文子串是要连续的，回文子序列可不是连续的！ 回文子串，回文子序列都是动态规划经典题目。

思路其实是差不多的，但本题要比求回文子串简单一点，因为情况少了一点。

动规五部曲分析如下：

1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。

2.确定递推公式

在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。

（1） 如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;，如图：

（2） 如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子串的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。

• 加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。

• 加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。

那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

代码如下：

if (s[i] == s[j]) {
    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
} else {
    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
}

3.dp数组如何初始化

首先要考虑当 i 和 j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。

所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。

其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖，因为我们取得是序列的最大长度，肯定是>=0的，所以初始化成0的话max不会被初始值覆盖。

vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;

4.确定遍历顺序

从递推公式dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2 和 dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) 可以看出，dp[i][j]是依赖于dp[i + 1][j - 1] 和 dp[i + 1][j]。

也就是从矩阵的角度来说，dp[i][j] 下一行的数据。 所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证，下一行的数据是经过计算的。而**j是依赖于j-1的，所以遍历j的时候一定要从左往右遍历**。

递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2，dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) 分别对应着下图中的红色箭头方向，如图：

代码如下：

for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
    for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {
        if (s[i] == s[j]) {
            dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
        } else {
            dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
        }
    }
}

5.举例推导dp数组

输入s:"cbbd" 为例，dp数组状态如图：

红色框即：dp[0][s.size() - 1]; 为最终结果。

最后给出代码如下：

int longestPalindromeSubseq(string s)
{
    // 1.定义dp数组，并部分初始化
    vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));

    // 2.初始化dp数组
    for(int i = 0; i < s.size(); i++)
        dp[i][i] = 1;

    // 3.动态规划：开始递归
    for(int i = s.size()-1; i >= 0; i--)
    {
        for(int j = i + 1; j < s.size(); j++)
        {
            // 1.当前首尾相等，则最长回文序列长度 = 内部子串的最长回文序列长度 + 2(即当前前后两个字符)
            if(s[i] == s[j])
                dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2;
            // 2.否则当前首尾不相等，则要么不要当前字符串的首字符，要么不要尾字符，再去看最长回文序列长度
            else
                dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1]);
        }
    }

    return dp[0][s.size()-1];
}