11、非线性模型

当得到一个回归方程会，得到一条直线来拟合这个数据的统计规律，但是实际中用这样的简单直线很显然并不能拟合出统计规律，所谓线性回归比如两个变量之间关系就直接用一条直线来拟合，2个变量和一个1个变量的关系就用一个平面来拟合。在数学就是一个一元一次和多元一次函数的映射。非线性就是有多次，也就是说不再是一个直线了，可能是二次或者更高，也可以用三角函数来进行非线性变换。

11.1 读入数据

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from linear_regression import LinearRegression
data = pd.read_csv('../data/non-linear-regression-x-y.csv')
x = data['x'].values.reshape((data.shape[0], 1))
y = data['y'].values.reshape((data.shape[0], 1))
data.head(10)
plt.plot(x, y)
plt.show()

导包
读入数据
得到x数据
得到y数据
取前10个
将x和y画图

打印结果：
在这里插入图片描述

11.2 多项式非线性变换函数

polynomial_degree是一个下面generate_polynomials这个多项式函数需要设置的参数
不同的参数产生的数据是怎样的呢?
如有一个数据[a,b]:
当degree=1时，kernel变换后的数据(仅为增加一个偏置项) 为：[1，a，b]
当degree=2时，kernel变换后的数据为：[1,a,b, $a^2$ ,ab, $b^2$ ]
当degree=3时，kernel变换后的数据为：[1,a,b, $a^2$ ,ab, $b^2,a^2b,ab^2,a^3,b^3$ ]
以此类推

import numpy as np
from .normalize import normalize
def generate_polynomials(dataset, polynomial_degree, normalize_data=False):
    features_split = np.array_split(dataset, 2, axis=1)
    dataset_1 = features_split[0]
    dataset_2 = features_split[1]
    (num_examples_1, num_features_1) = dataset_1.shape
    (num_examples_2, num_features_2) = dataset_2.shape
    if num_examples_1 != num_examples_2:
        raise ValueError('Can not generate polynomials for two sets with different number of rows')
    if num_features_1 == 0 and num_features_2 == 0:
        raise ValueError('Can not generate polynomials for two sets with no columns')
    if num_features_1 == 0:
        dataset_1 = dataset_2
    elif num_features_2 == 0:
        dataset_2 = dataset_1
    num_features = num_features_1 if num_features_1 < num_examples_2 else num_features_2
    dataset_1 = dataset_1[:, :num_features]
    dataset_2 = dataset_2[:, :num_features]
    polynomials = np.empty((num_examples_1, 0))
    for i in range(1, polynomial_degree + 1):
        for j in range(i + 1):
            polynomial_feature = (dataset_1 ** (i - j)) * (dataset_2 ** j)
            polynomials = np.concatenate((polynomials, polynomial_feature), axis=1)
    if normalize_data:
        polynomials = normalize(polynomials)[0]
    return polynomials

11.3 三角函数非线性变换函数

import numpy as np
def generate_sinusoids(dataset, sinusoid_degree):
    num_examples = dataset.shape[0]
    sinusoids = np.empty((num_examples, 0))
    for degree in range(1, sinusoid_degree + 1):
        sinusoid_features = np.sin(degree * dataset)
        sinusoids = np.concatenate((sinusoids, sinusoid_features), axis=1)      
    return sinusoids

11.4 执行线性回归

num_iterations = 50000  
learning_rate = 0.02  
polynomial_degree = 15  
sinusoid_degree = 15  
normalize_data = True  
linear_regression = LinearRegression(x, y, polynomial_degree, sinusoid_degree, normalize_data)
(theta, cost_history) = linear_regression.train( learning_rate, num_iterations)
print('开始损失: {:.2f}'.format(cost_history[0]))
print('结束损失: {:.2f}'.format(cost_history[-1]))

迭代次数
学习率
多项式次数
三角函数次数
类实例化成对象
执行train函数和之前一样
打印损失

打印结果：

开始损失: 2274.66
结束损失: 35.04

11.5 损失变化过程

theta_table = pd.DataFrame({'Model Parameters': theta.flatten()})


plt.plot(range(num_iterations), cost_history)
plt.xlabel('Iterations')
plt.ylabel('Cost')
plt.title('Gradient Descent Progress')
plt.show()

这里和之前的过程是一样的，打印结果：
在这里插入图片描述
这里的损失在很早的时候就已经下降的很低了，因为次数设置的过大导致模型过拟合了

11.6 回归线

predictions_num = 1000
x_predictions = np.linspace(x.min(), x.max(), predictions_num).reshape(predictions_num, 1);
y_predictions = linear_regression.predict(x_predictions)
plt.scatter(x, y, label='Training Dataset')
plt.plot(x_predictions, y_predictions, 'r', label='Prediction')
plt.show()