Matlab 如何选择窗函数和 FFT 的长度

1、常用的四种窗函数

对于实际信号序列，如何选取窗函数呢？一般来说，选择第一旁瓣衰减大，旁瓣峰值衰减快的窗函数有利于緩解截断过程中产生的頻泄漏问题。但具有这两个特性的窗函数，其主瓣寛度较大，相应会帯来一些副作用，应用中需根据具体情况折中地选择。

2、实例

例：已知信号 $x(t)$ 中 50Hz 频率分量的幅值为 311，46Hz 频率分量的幅值为 1.55，采样频率 $f_{s}=8000Hz$ 。要求 46Hz 信号的幅度分析进度不低于 5%，试问：

选择何种类型的窗函数比较合适？
采样长度 N 应为多少？
分析信号的实际频谱。

分析：由于 50Hz 频率分量幅度远大于 46Hz 频率分量，需要防止 50Hz 频率分量对 46Hz 频率分量的泄漏，同时考虑 46Hz 分量分析精度的要求，允许 50Hz 频率分量的最大泄漏为 $20*\lg \left | \frac{1.55}{311} *0.05\right |=-80dB$

以上介绍的窗函数中没有一个窗函数的第一旁瓣衰减能达到 -80dB；但可以选择旁瓣衰减大、高频衰减速度快的窗函数，以满足实际衰减要求。根据表2-2-1，选择布莱克曼窗比较合适。布莱克曼窗第3个旁瓣衰减为（-58-18*3）= -112dB。

此时，采样长度的选择不但要考虑窗函数的主瓣宽度，还要考虑旁瓣位置：

$N\geqslant \frac{f_{s}}{\Delta f_{min}}*(K+M)=\frac{8000}{50-46}*(3+3)=12000$

式中：K为窗函数的主瓣宽度与矩形窗的主瓣宽度之比，M为旁瓣位置。按表2-2-1中信息，矩形窗的主瓣宽度为 $\frac{4\pi }{N}$ ，而布莱克曼窗的主瓣宽度为 $\frac{12\pi }{N}$ ，所以 K=3；又取布莱克曼窗第3个旁瓣，M=3。

Matlab 程序如下：

% Matlab 如何选择窗函数和 FFT 的长度
% 
% pr2_2_11  
clear; clc; close all;

f1 = 50; a1 = 311; % 设置第1个分量的频率与幅值
f2 = 46; a2 = 1.57; % 设置第2个分量的频率与幅值
N = 12000; % 设置数据长度N
fs = 8000; % 设置采样频率fs
t = (0:N-1)/fs; % 设置时间刻度
x = a1*cos(2*pi*f1*t)+a2*cos(2*pi*f2*t); % 设置信号
freq = (0:N/2)*fs/N; % 设置频率刻度
wind = blackman(N)'; % 给出布莱克曼窗函数
X = fft(x.*wind); % FFT

% 作图
plot(freq,20*log10(abs(X(1:N/2+1))),'k');
grid; xlim([0 100])
xlabel('频率/Hz');
ylabel('幅值/dB');
title('信号谱图');
set(gcf,'color','w');