LQR 控制器

news2024/12/24 20:46:50

LQR（Linear Quadratic Regulator）控制器

LQR（Linear Quadratic Regulator）是一种经典的线性控制器设计方法，用于设计线性时不变系统的状态反馈控制器，以最小化系统性能指标，通常是二次代价函数。下面，将详细推导LQR算法，并提供MATLAB应用示例。

推导LQR控制器：

考虑一个离散时间线性时不变系统的状态空间表达式：

$x [k + 1] = A x [k] + B u [k]$

其中， $x [k]$ 是系统状态， $u [k]$ 是控制输入， $A$ 和 $B$ 是系统矩阵。

LQR的目标是找到一个状态反馈控制器，它具有以下形式：

$u [k] = - K x [k]$

其中， $K$ 是控制器增益矩阵，它需要优化。控制器的目标是最小化以下代价函数：

$\sum_{k=0}^{\infty} (x[k]^T Q x[k] + u[k]^T R u[k])$

其中， $Q$ 是状态权重矩阵， $R$ 是控制输入权重矩阵。

我们首先需要解出Riccati方程来找到最优控制器增益 $K$ 和最小的代价函数 $J$ 。

首先，我们定义代价函数的无穷时间累积：

$\lim_{N\to\infty}\sum_{k=0}^{N} (x[k]^T Q x[k] + u[k]^T R u[k])$

接下来，我们定义一个有限时间的代价函数，称为 $J_N$ ，并将其表示为与无穷时间代价函数的差值：

$J_N = \sum_{k=0}^{N} (x[k]^T Q x[k] + u[k]^T R u[k]) - x[N+1]^T Q x[N+1]$

这里，我们假设 $x [N + 1]$ 是一个零向量，这是因为我们在有限时间内考虑代价。

然后，我们通过对 $J_N$ 对 $u [k]$ 求偏导，并令其等于零来找到最小值：

$\frac{\partial J_N}{\partial u[k]} = 2R u[k] + 2B^T P x[k] = 0$

其中， $P$ 是状态权重矩阵的解，它满足离散时间的Riccati方程：

$P = A^T P A - A^T P B (R + B^T P B)^{-1} B^T P A + Q$

一旦我们找到了 $P$ ，我们可以计算最优控制器增益 $K$ ：

$K = (R + B^T P B)^{-1} B^T P A$

步骤4：使用MATLAB实现LQR控制器和仿真

以下是针对一个二阶系统的MATLAB代码示例，包括控制器设计和性能仿真。假设我们有以下系统参数：

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad R = 1$

% 定义系统矩阵
% 系统矩阵
A = [1, 1; 0, 1];
B = [0; 1];

% 权重矩阵
Q = [1, 0; 0, 1];
R = 1;

% 求解Riccati方程
P = dare(A, B, Q, R);

% 计算最优控制器增益矩阵 K
K = (R + B' * P * B)^(-1) * B' * P * A;

% 仿真系统响应
x0 = [100; 0]; % 初始状态
N = 100; % 仿真步数
x = zeros(2, N);
u = zeros(1, N);
x(:,1) =x0;

for k = 1:N
    u(k) = -K * x(:, k); % 计算控制输入
    x(:, k+1) = A * x(:, k) + B * u(k); % 更新状态
end

% 绘制状态和控制输入
figure(Color='w')
t = 0:N;
subplot(2, 1, 1);
plot(t, x(1, :), 'b', 'LineWidth', 2);
ylabel('状态 x_1');
title('LQR控制器仿真');
set(gca,'FontSize',18);
subplot(2, 1, 2);
stairs(t(1:end-1), u, 'r', 'LineWidth', 2);
xlabel('时间步骤');
ylabel('控制输入 u');
set(gca,'FontSize',18);