有向图和无向图的表示方式(邻接矩阵，邻接表)

news2024/9/22 9:54:52

目录

一.邻接矩阵

1.无向图​编辑

2.有向图

补充：网（有权图）的邻接矩阵表示法

二.邻接表

1.无向图

2.有向图

三.邻接矩阵与邻接表的关系

一.邻接矩阵

1.无向图

（1）对角线上是每一个顶点与自身之间的关系，没有到自身的边，所以对角线上为0

（2）无向图的邻接矩阵是对称的

两个顶点之间如果有边的话，那么两个顶点互为邻接关系，值为1

（3）顶点i的度=第i行（列）中1的个数

注：完全图的邻接矩阵，对角元素为0，其余为1

2.有向图

（1）在有向图的邻接矩阵中

第i行含义：以结点v_{i}为尾的弧（即出度边）

顶点的出度=第i行元素之和

第i列含义：以结点v_{i}为头的弧（即入度边）

顶点的入度=第i列元素之和

顶点的度=第i行元素之和+第i列元素之和

（2）有向图的邻接矩阵可能是不对称的

补充：网（有权图）的邻接矩阵表示法

邻接矩阵存储

#define MaxInt 32767
#define MVNum 100    //最大顶点数
typedef char VerTexType;    //设顶点的数据类型为字符型
typedef int ArcType;    //假设边的权值类型为整型

typedef struct{
    VerTex vex[MVNum];    //顶点表
    ArcType arcs[MVNum][MVNum];    //邻接矩阵
    int vexnum,arcnum;    //图的当前点数和边数
}AMGraph;

 以无向网为例

int LocateVex(AMGraph G,VertexType u)
{
//查找图G中的顶点u,存在则返回顶点表中的下标;否则返回-1
    int i;
    for(i=0;i<G.vexnum;++i)//有几条边就循环多少次
    {
        if(u==G.vexs[i])
            return i;
        return -1;
    }
}

Status CreateUDN(AMGraph &G)
{
   int i;
   cin>>G.vexnum>>G.arcnum;//总顶点,总边数
    for(i=0;i<G.vexnum;++i)
        cin>>G.vexs[i];//依次输入点的信息
    for(i=0;i<G.vexnum;++i)//初始化邻接矩阵
    {
        for(int j=0;j<G.vexnum;++j)
        {
            G.arcs[i][j]=MaxInt;//边的权值均置为极大值
        }
    }
    for(int k=0;k<G.arcnum;++k)//构造邻接矩阵
    {
        cin>>v1>>v2>>w;//输入一条边所依附的顶点以及边的权值
        i=LocateVex(G,v1);
        j=LocateVex(G,v2);//确定v1,v2在G中的位置
        G.arcs[i][j]=w;//边<v1,v2>的权值置w
        G.arcs[j][i]=G.arcs[i][j];//<v1,v2>的对称边<v2,v1>的权值也为w
    }
    return OK;
}

无向图，有向网,有向图与无向网是类似的

•对于无向图而言，其与无向网相比没有权值

初始化邻接矩阵时，w=0 ，构建邻接矩阵时，w=1

Status CreateUDG(AMGraph &G)
{
   int i;
   cin>>G.vexnum>>G.arcnum;//总顶点,总边数
    for(i=0;i<G.vexnum;++i)
        cin>>G.vexs[i];//依次输入点的信息
    for(i=0;i<G.vexnum;++i)//初始化邻接矩阵
    {
        for(int j=0;j<G.vexnum;++j)
        {
            G.arcs[i][j]=0;//边的权值均置为0
        }
    }
    for(int k=0;k<G.arcnum;++k)//构造邻接矩阵
    {
        cin>>v1>>v2;//输入一条边所依附的顶点
        int w=1;//1表示连接、0表示无连接
        i=LocateVex(G,v1);
        j=LocateVex(G,v2);//确定v1,v2在G中的位置
        G.arcs[i][j]=w;//边<v1,v2>的权值置w
        G.arcs[j][i]=G.arcs[i][j];//<v1,v2>的对称边<v2,v1>的权值也为w
    }
    return OK;
}

•对于有向网而言，与无向网不同的是，其每一条弧，都是从一个顶点指向另外一个顶点的

仅为G.arcs[i][j]赋值，不为G.arcs[j][i]赋值

Status CreateDN(AMGraph &G)
{
   int i;
   cin>>G.vexnum>>G.arcnum;//总顶点,总边数
    for(i=0;i<G.vexnum;++i)
        cin>>G.vexs[i];//依次输入点的信息
    for(i=0;i<G.vexnum;++i)//初始化邻接矩阵
    {
        for(int j=0;j<G.vexnum;++j)
        {
            G.arcs[i][j]=MaxInt;//边的权值均置为极大值
        }
    }
    for(int k=0;k<G.arcnum;++k)//构造邻接矩阵
    {
        cin>>v1>>v2>>w;//输入一条边所依附的顶点以及边的权值
        i=LocateVex(G,v1);
        j=LocateVex(G,v2);//确定v1,v2在G中的位置
        G.arcs[i][j]=w;//边<v1,v2>的权值置w
    }
    return OK;
}

•对于有向图而言，只需要将无向图和有向网的修改结合一下就行

没有权值，连接两个顶点的边是弧 

Status CreateDG(AMGraph &G)
{
   int i;
   cin>>G.vexnum>>G.arcnum;//总顶点,总边数
    for(i=0;i<G.vexnum;++i)
        cin>>G.vexs[i];//依次输入点的信息
    for(i=0;i<G.vexnum;++i)//初始化邻接矩阵
    {
        for(int j=0;j<G.vexnum;++j)
        {
            G.arcs[i][j]=0;//边的权值均置为0
        }
    }
    for(int k=0;k<G.arcnum;++k)//构造邻接矩阵
    {
        cin>>v1>>v2;//输入一条边所依附的顶点
        int w=1;//1表示连接、0表示无连接
        i=LocateVex(G,v1);
        j=LocateVex(G,v2);//确定v1,v2在G中的位置
        G.arcs[i][j]=w;//边<v1,v2>的权值置w
    }
    return OK;
}

邻接矩阵的优点

 

•方便检查任意一对顶点间是否存在边

•方便找任一顶点的所有“邻接点”（有边直接相连的顶点）

•方便计算任一顶点的“度”(从该点发出的边数为“出度”，指向该点的边数为“入度”)

        •无向图:对应行 (或列)非0元素的个数

        •有向图:对应行非0元素的个数是“出度”;对应列非0元素的个数是“入度

邻接矩阵的缺点

•不便于增加和删除顶点

•邻接矩阵的空间复杂度为O(n^{2}),跟其有的边的条数无关，只与其顶点数有关，无论边少还是边多，空间复杂度都为O(n^{2})，浪费空间----存稀疏图（点很多而边很少）有大量无效元素

•浪费时间----统计稀疏图中一共有多少条边，因为必须遍历所有元素

二.邻接表

1.无向图

顶点：按编号顺序存储在一维数组中

这里的一维数组和邻接矩阵中的一维数组不同，数组中每个元素有两个成员

第一个是数据元素的信息，第二个是指针，存储的是第一个边的地址

关联同一顶点的边：用线性链表存储,例如3，表示邻接的顶点是下标为3的元素（v4）

如果有边\弧的信息，还可以在表结点中增加一项

第一个表示邻接点在顶点表中的序号

第二个元素是一个指针，指向的是下一条边（弧）

第三个元素表示边的信息（权值）

（1）邻接表是不唯一

例如“v1”指针指向的是邻接点v4和v2的下标，分别为3，1，这些边的顺序是可以改变的。

（2）若无向图中有n个顶点，e条边，则其邻接表需n个头结点和2e个表结点，适宜存储稀疏图。

使用每条边时会出现两次，从v1到v2和从v2到v1用的是同一条边，所以有e条边，就有2e个表结点

所以无向图的存储空间为O(n+2e):n表示点，2e表示边

有向图的存储空间为O(n+e)

注对于邻接矩阵而言，存储空间为O(n^{2}),所以邻接表在存储稀疏图时比较节省空间

 （3）无向图中顶点v_{i}的度为第i个单链表中的结点数

•顶点的存储结构

typedef struct VNode
{
	VerTexType data;         //顶点信息
	ArcNode *firstarc;       //指向第一条依附该顶点的边的指针
}VNode,AdjList[MVNum];
注:AdjList[MVNum]==VNnode v[MVNum]

•弧(边)的结点结构

#define MVNum 100                //最大顶点数
typedef struct ArcNode           //边结点
{
	int adjvex;                  //该边所指向的顶点的位置
	struct ArcNode *nextarc;     //指向下一条边的指针
	OtherInfo info;              //和边相关的信息(权值等)
}ArcNode;

•图的结构定义

typedef struct
{
	AdjList vertices;      //存放各个顶点的数组
	int vexnum, arcnum;    //图的当前顶点数和弧数
}ALGraph;

•邻接表操作举例说明

ALGraph G;                    //定义了邻接表表示的图G
G.vexnum = 5; G.arcnum = 6;   //图G中包含5个顶点，6条边
G.vertices[1].data = 'b';     //图G中的第2个顶点是b
p = G.vertices[1].firstarc;   //指针p指向顶点b的第一条边结点
p->adjvex = 4;                //指针p所指边结点是到下标为4的结点的边

2.有向图

（1）顶点v_{i}的出度为第i个单链表中的结点个数

（2）顶点v_{i}的入度为整个单链表中邻接点域值是（i-1）的结点个数

根据以上结论，可以看出对于这样的每一个顶点存储出度边的有向图而言，找出度是容易的，找入度则比较难，例如，找终点为v1的边，那么就需要遍历所有边结点，找到邻结点为0的入度边

 也可以每一个顶点存储其入度边，如下图：逆邻接表

和邻接表的结论相反：找入度容易，找出度难

（1）顶点v_{i}的入度为第i个单链表中的结点个数

（2）顶点v_{i}的出度为整个单链表中邻接点域值是（i-1）的结点个数

例题：画出该邻接表对应的网络图

结果如下


 

用邻接表创建无向图

int LocateVex(AMGraph G,VertexType u)
{
//查找图G中的顶点u,存在则返回顶点表中的下标;否则返回-1
    int i;
    for(i=0;i<G.vexnum;++i)//有几条边就循环多少次
    {
        if(u==G.vexs[i])
            return i;
        return -1;
    }
}

Status CreateUDG(ALGraph &G)
{
    int i, j, k;
    cin >> G.vexnum >> G.arcnum;                            // 输入总顶点数，总边数
    for (i = 0; i < G.vexnum; ++i)                          // 输入各点，构造表头(顶点)节点表
    {
        cin >> G.vertices[i].data;                          // 输入顶点值
        G.vertices[i].firstarc = NULL;                      // 初始化表头结点的指针域
    }
    for (k = 0; k < G.arcnum; ++k)                          // 输入各边，构造邻接表
    {
        int v1, v2;
        cin >> v1 >> v2;                                    // 输入一条边依附的两个顶点
        i = LocateVex(G, v1);
        j = LocateVex(G, v2);
        ArcNode* p1 = new ArcNode;                           // 生成一个新的边结点*p1
        p1->adjvex = j;                                     // 邻接点序号为j
        p1->nextarc = G.vertices[i].firstarc;
        G.vertices[i].firstarc = p1;                         // 将新结点*p1插入顶点vi的边表头部(头插法)
        ArcNode* p2 = new ArcNode;                           // 生成一个新的边结点*p2
        p2->adjvex = i;                                     // 邻接点序号为i
        p2->nextarc = G.vertices[j].firstarc;
        G.vertices[j].firstarc = p2;                         // 将新结点*p2插入顶点vj的边表头部(头插法)
    }
    return OK;
}

这里的头插法特别解释一下

p1->nextarc = G.vertices[i].firstarc;  
G.vertices[i].firstarc = p1;           //将新结点*p1插入顶点vi的边表头部(头插法)

用邻接表创建有向图

只需将边改为弧，将以下代码去掉

        p2 = new ArcNode;                      //生成一个新的边结点*p2
        p2->adjvex = i;                        //邻接点序号为i
        p2->nextarc = G.vertices[j].firstarc;
        G.vertices[j].firstarc = p2;           //将新结点*p2插入顶点vj的边表头部(头插法)

Status CreateDG(ALGraph &G)
{
    cin >> G.vexnum >> G.arcnum;                        // 输入总顶点数，总边数
    for (int i = 0; i < G.vexnum; ++i)                   // 输入各点，构造表头(顶点)节点表
    {
        cin >> G.vertices[i].data;                      // 输入顶点值
        G.vertices[i].firstarc = NULL;                  // 初始化表头结点的指针域
    }
    for (int k = 0; k < G.arcnum; ++k)                   // 输入各边，构造邻接表
    {
        int v1, v2;
        cin >> v1 >> v2;                                 // 输入一条边依附的两个顶点
        int i = LocateVex(G, v1);
        int j = LocateVex(G, v2);
        ArcNode* p = new ArcNode;                         // 生成一个新的边结点*p
        p->adjvex = j;                                   // 邻接点序号为j
        p->nextarc = G.vertices[i].firstarc;             
        G.vertices[i].firstarc = p;                      // 将新结点*p插入顶点vi的边表头部(头插法)
    }
    return OK;
}

 用邻接表创建有向网

只需加入weight（权重值即可）

cin >> v1 >> v2 >> weight;

p->info=weight;

Status CreateWeightedDN(ALGraph &G)
{
    cin >> G.vexnum >> G.arcnum;                        // 输入总顶点数，总边数
    for (int i = 0; i < G.vexnum; ++i)                   // 输入各点，构造表头(顶点)节点表
    {
        cin >> G.vertices[i].data;                      // 输入顶点值
        G.vertices[i].firstarc = NULL;                  // 初始化表头结点的指针域
    }
    for (int k = 0; k < G.arcnum; ++k)                   // 输入各边，构造邻接表
    {
        int v1, v2, weight;
        cin >> v1 >> v2 >> weight;                       // 输入一条边依附的两个顶点和权值
        int i = LocateVex(G, v1);
        int j = LocateVex(G, v2);
        ArcNode* p = new ArcNode;                         // 生成一个新的边结点*p
        p->adjvex = j;                                   // 邻接点序号为j
        p->info = weight;                              // 边的权值为weight
        p->nextarc = G.vertices[i].firstarc;             
        G.vertices[i].firstarc = p;                      // 将新结点*p插入顶点vi的边表头部(头插法)
    }
    return OK;
}

 用邻接表创建无向网

只需在无向图的基础上加入weight（权重值即可）

cin >> v1 >> v2 >> weight;

p1->info=weight;

p2->info=weight;

Status CreateWeightedUDN(ALGraph &G)
{
    cin >> G.vexnum >> G.arcnum;                            // 输入总顶点数，总边数
    for (int i = 0; i < G.vexnum; ++i)                       // 输入各点，构造表头(顶点)节点表
    {
        cin >> G.vertices[i].data;                          // 输入顶点值
        G.vertices[i].firstarc = NULL;                      // 初始化表头结点的指针域
    }
    for (int k = 0; k < G.arcnum; ++k)                       // 输入各边，构造邻接表
    {
        int v1, v2, weight;
        cin >> v1 >> v2 >> weight;                           // 输入一条边依附的两个顶点和权值
        int i = LocateVex(G, v1);
        int j = LocateVex(G, v2);
        ArcNode* p1 = new ArcNode;                            // 生成一个新的边结点*p1
        p1->adjvex = j;                                      // 邻接点序号为j
        p1->info = weight;                                 // 边的权值为weight
        p1->nextarc = G.vertices[i].firstarc;
        G.vertices[i].firstarc = p1;                         // 将新结点*p1插入顶点vi的边表头部(头插法)
        ArcNode* p2 = new ArcNode;                            // 生成一个新的边结点*p2
        p2->adjvex = i;                                      // 邻接点序号为i
        p2->info = weight;                                 // 边的权值为weight
        p2->nextarc = G.vertices[j].firstarc;
        G.vertices[j].firstarc = p2;                         // 将新结点*p2插入顶点vj的边表头部(头插法)
    }
    return OK;
}

 邻接表的特点

•方便找任一顶点的所有“邻接点”
•节约稀疏图的空间
        •需要N个头指针 + 2E个结点 (每个结点至少2个域)

•方便计算任一顶点的“度”
对无向图:是的
对有向图:只能计算“出度”需要构造"逆邻接表"(存指向自己的边)来方便计算"入度"

•不方便检查任意一对顶点间是否存在边

三.邻接矩阵与邻接表的关系

1.联系:邻接表中每个链表对应于邻接矩阵中的一行，链表中结点个数等于一行中非零元素的个数

2.区别:
①对于任一确定的无向图，邻接矩阵是唯一的 (行列号与顶点编号致)，但邻接表不唯一 (链接次序与顶点编号无关，与链接的算法有关（头插法或尾插法）)

②邻接矩阵的空间复杂度为O(n^{2}）,而邻接表的空间复杂度为O(n+e),对于稀疏图而言，用邻接表的方式存储，空间复杂度更低。

3.用途：邻接矩阵多用于稠密图，邻接表多用于稀疏图。

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gitLab（git）误提交命令

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1.先使用下面命令查看一下分支上已提交的信息 git log 2.回退到之前的版本 git reset —hard 你要删除的提交哈希码&#xff08;一般是离这个命令最近的一串数字&#xff09; 3.覆盖掉远端的版本信息&#xff0c;使远端的仓库也回退到相应的版本 注意&#xff1a;切换到你提…
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安装K8s基础环境软件(二)

安装K8s基础环境软件(二)

所有节点执行 1、安装docker sudo yum install -y yum-utils sudo yum-config-manager --add-repo https://download.docker.com/linux/centos/docker-ce.reposudo yum install docker-ce docker-ce-cli containerd.io docker-buildx-plugin docker-compose-plugin systemctl…
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解决报错之org.aspectj.lang不存在

解决报错之org.aspectj.lang不存在

一、IDEA在使用时&#xff0c;可能会遇到maven依赖包明明存在&#xff0c;但是build或者启动时&#xff0c;报找不存在。 解决办法&#xff1a;第一时间检查Setting->Maven-Runner红圈中的√有没有选上。 二、有时候&#xff0c;明明依赖包存在&#xff0c;但是Maven页签中…
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SI3262 低功耗 SOC +13.56mhz刷卡+触摸三合一芯片，适用于智能锁方案

SI3262 低功耗 SOC +13.56mhz刷卡+触摸三合一芯片，适用于智能锁方案

Si3262 是一款高度集成的低功耗 SOC 芯片&#xff0c;其集成了基于 RISC-V 核的低功耗MCU 和工作在 13.56MHz 的非接触式读写器模块。 MCU 模块具有低功耗、Low Pin Count、宽电压工作范围&#xff0c;集成了13/14/15/16 位精度的 ADC、LVD、UART、SPI、I2C、TIMER、WUP、IWDG、…
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【FAQ】安防视频监控/视频汇聚平台EasyCVR服务重启，海康SDK设备无法上线的原因排查

【FAQ】安防视频监控/视频汇聚平台EasyCVR服务重启，海康SDK设备无法上线的原因排查

TSINGSEE青犀视频监控汇聚平台EasyCVR可拓展性强、视频能力灵活、部署轻快&#xff0c;可支持的主流标准协议有国标GB28181、RTSP/Onvif、RTMP等&#xff0c;以及支持厂家私有协议与SDK接入&#xff0c;包括海康Ehome、海大宇等设备的SDK等。旭帆科技平台既具备传统安防视频监控…
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将目标检测项目移植到linux上出现OSERROR

将目标检测项目移植到linux上出现OSERROR

在windows上运行项目正常&#xff0c;但是在centos9上运行出现找到资源&#xff0c;第一次遇到这个问题&#xff0c;通过代码回找&#xff0c;一步一步发现&#xff0c;读取数据没问题&#xff0c;但是在预测的时候无法读取&#xff0c;查到的资料 说明显示字体问题&#xff0c…
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Maven中导入jQuery，前端页面中引用jQuery

Maven中导入jQuery，前端页面中引用jQuery

第一步pom文件中&#xff0c;配置maven坐标。 第二步&#xff0c;在前端页面中引用jQuery 注&#xff1a;该前端页面需要在web根目录即webapp目录下。可认为在maven中导入jQuery后&#xff0c;jquery.min.js文件放在目录webapp/webjars/jquery/3.3.1下。
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大模型扫盲之小白入门手记

大模型扫盲之小白入门手记

本篇内容来自小米集团数据科学部负责人刘汉武老师的数据特训营笔记。不涉及深入的知识&#xff0c;仅在扫盲。 首先一个问题&#xff1a;大模型和大语言模型的区别是什么&#xff1f; 有人说大模型像是连接数据的星辰&#xff0c;能给我们提供前所未有的见解和洞察。现有的大模…
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【精读Uboot】its文件语法

【精读Uboot】its文件语法

前面我们分析了SPL汇编的执行过程&#xff0c;在SPL之后就要进入另一个loader加载镜像了。在正式分析跳转流程之前&#xff0c;我们需要搞清楚在我们平时下载的imx-boot-xxx这个镜像是如何组成的。 在编译完Uboot、optee和ATF之后&#xff0c;会产生u-boot-spl.bin&#xff0c…
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element-plus 踩的坑

element-plus 踩的坑

原来node版本是16.17.0,装element-plus死活装不上&#xff0c;结果要把node版本升级到18以上&#xff0c;真坑呀&#xff0c;也没人告诉我要这么干
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如何调用Zabbix API获取主机信息

如何调用Zabbix API获取主机信息

自Zabbix 1.8版本被引进以后&#xff0c;Zabbix API开始扮演着越来越重要的角色&#xff0c;它可以为批量操作、第三方软件集成以及其他应用提供可编程接口。 在运维实践中&#xff0c;Zabbix API还有更多巧妙的应用。 面对规模庞大的监控设备&#xff0c;可能会出现某台机器发…
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Python接口自动化测试 —— logging日志

Python接口自动化测试 —— logging日志

logging模块的日志级别&#xff1a;日志级别一共有5个从低到高如下&#xff0c; 作用是在当你给python函数赋予日志器时&#xff0c; 需要自己标记日志级别&#xff08;后面会用到&#xff09; debug&#xff08;调试级别&#xff09;&#xff1a;严重程度最低级别&#xff0c…
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2.6 PE结构：导出表详细解析

2.6 PE结构：导出表详细解析

导出表&#xff08;Export Table&#xff09;是Windows可执行文件中的一个结构&#xff0c;记录了可执行文件中某些函数或变量的名称和地址&#xff0c;这些名称和地址可以供其他程序调用或使用。当PE文件执行时Windows装载器将文件装入内存并将导入表中登记的DLL文件一并装入&…
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三显智能氮气柜温度、湿度和氧含量控制介绍

三显智能氮气柜温度、湿度和氧含量控制介绍

三显智能氮气柜是用来存放易氧化物料&#xff0c;利用氮气达到防潮防氧化目的的柜体&#xff0c;通过多种技术实现温度、湿度和氧含量的显示和控制。 一、温度控制&#xff1a;智能氮气柜一般配备温度传感器和恒温控制装置。温度传感器会实时监测柜内温度&#xff0c;并将数据反…
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【Spring AOP】

【Spring AOP】

目录 &#x1f957;1 AOP 的思想 &#x1f35a;2 AOP 的组成 &#x1f95a;2.1 切面 &#x1f359;3 AOP 的实现 &#x1f364;3.1 添加 Spring AOP 依赖 &#x1f96b;3.2 定义切面 &#x1f363;3.3 定义切点 &#x1f373;3.4 实现通知 &#x1f354;4 AOP 实现的一个例子 1…
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算法通关村第十七关：白银挑战-贪心高频问题

算法通关村第十七关：白银挑战-贪心高频问题

白银挑战-贪心高频问题 1. 区间问题 所有的区间问题&#xff0c;参考下面这张图 1.1 判断区间是否重叠 LeetCode252 https://leetcode.cn/problems/meeting-rooms/ 思路分析 因为一个人在同一时刻只能参加一个会议&#xff0c;因此题目的本质是判断是否存在重叠区间 将区…
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报错解决：RuntimeError: expected scalar type Long but found Float

报错解决：RuntimeError: expected scalar type Long but found Float

文章目录 报错信息原因代码示例错误版改正 报错信息 RuntimeError: expected scalar type Long but found Float原因 nn.Linear需要作用于浮点数&#xff0c;这里可能输入了整数类型的张量作为参数。 代码示例 错误版 import torch import torch.nn as nn a torch.tensor…
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