【C++】平衡二叉搜索树的模拟实现

news2024/9/28 13:15:09

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在这里插入图片描述

一、AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

因此，有两位科学家发明了一种方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

  • 它的左右子树都是AVL树

  • 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

在这里插入图片描述

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(log_2n)，搜索时间复杂度O(log_2n)

二、AVL树节点的定义

#include <cassert>
using namespace std;

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;//该节点的左孩子
	AVLTreeNode<K, V>* _right;//该节点的右孩子
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;//该节点是父亲节点
	int _bf;//平衡因子

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{}
};

三、AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

  1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
  2. 调整节点的平衡因子

注：

  • 新增节点如果在左边的话，平衡因子需要_bf–；

  • 新增节点如果在右边，平衡因子需要_bf++;

  • 更新后parent平衡因子==0，说明parent所在的子树高度不变，不会再影响祖先，不用再沿着到root的路径上进行更新

  • 更新后parent的平衡因子==1 or -1，说明parent所在的左右子树的高度变化，会影响祖先，需要继续沿着root的路径上往上更新

  • 更新后parent的phenomena因子==2 or -2，说明parent所在的子树的高度变化且不平衡对parent所在子树进行旋转，让它平衡

  • 更新根节点

而树的旋转需要分为四种情况：左单旋转、右单旋转、左右双旋、右左双旋

1.AVL树的右单旋转

  • 新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋

在这里插入图片描述

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

  1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在

  2. 60可能是根节点，也可能是子树

    如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点

    如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树

void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* cur = parent->_left;
		Node* curRight = cur->_right;

		parent->_left = curRight;
		cur->_right = parent;
		Node* ppNode = parent->_parent;
		if (curRight)//右孩子可能存在，也可能不存在，所以需要判断，需要在parent改变前判断
		{
			curRight->_parent = parent;
		}

		parent->_parent = cur;

		if (parent == _root)//parent可能是根节点，也可能不是根节点
		{
			_root = cur;
			cur->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = cur;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = cur;
			}
			cur->_parent = ppNode;
		}
		cur->_bf = parent->_bf = 0;//将平衡因子调整
	}

2.AVL树的左单旋转

  • 新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋

在这里插入图片描述

这里进行参考右单旋转就可理解

注：如果是左单旋转parent的平衡因子应该是2，cur的平衡因子应该是1
如果是右单旋转parent的平衡因子应该是-2，cur的平衡因子应该是-1。

3.AVL树的先左单旋再右单旋

  • 新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋

在这里插入图片描述

即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

注：平衡因子的更新分为三种情况

1.当h是为0的时候，进行左右双旋，那么它的平衡因子都是为0的。

2.当h>0的时候，进行左右双旋，那么它的平衡因子修改分为两种情况

(1)当插入节点在b的位置，如图所示，30节点的平衡因子修改为0，60节点的平衡因子修改为090节点的平衡因子修改为1

(2)当擦汗如节点在c的位置，将上图的紫色方框放到c的位置，那么60和90节点的平衡因子为0，30节点的平衡因子为-1.这个平衡因子的修改是根据目录AVL树的定义的方式修改的。

具体代码：

void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* cur = parent->_left;
		Node* curRight = cur->_right;
		int bf = curRight->_bf;

		//复用左单旋转和右单旋转
		RotateL(cur);
		RotateR(parent);

		if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			cur->_bf = 0;
			curRight->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)//curRight的左树插入新节点
		{
			parent->_bf = 1;
			cur->_bf = 0;
			curRight->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)//curRight的右树插入新节点
		{
			cur->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
			curRight->_bf = 0;
		}
		else//不可能出现此情况，如果出现就是出错
		{
			assert(false);
		}
	}

4.AVL树的先右单旋再左单旋

  • 新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋

在这里插入图片描述

参考左右双旋。具体代码如下：

void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* cur = parent->_right;
		Node* curleft = cur->_left;
		int bf = curleft->_bf;
		//复用右单旋转和左单旋转
		RotateR(cur);
		RotateL(parent);

		if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			cur->_bf = 0;
			curleft->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)//curLeft的右树插入新节点
		{
			parent->_bf = -1;
			cur->_bf = 0;
			curleft->_bf = 0;
		}
		else if(bf == -1)//curLeft的左树插入新节点
		{
			cur->_bf = 1;
			parent->_bf = 0;
			curleft->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

四、AVL树代码的验证

int TreeHight(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;
		int leftHight = TreeHight(root->_left);
		int rightHight = TreeHight(root->_right);
		return leftHight > rightHight ? leftHight + 1 : rightHight + 1;
	}

	void Inorder()
	{
		_Inorder(_root);
	}

	bool IsBalance()
	{
		return _IsBalance(_root);
	}

五、AVL树的删除（略）

按照二叉搜索树的方式对平衡二叉树节点进行删除。更新平衡因子时，平衡因子为1或-1便可以停止向上更新。

当平衡因子绝对值大于1时，同样需要进行旋转解决。

六、AVL树的整体代码

#include <iostream>
#include <cassert>
using namespace std;

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;//该节点的左孩子
	AVLTreeNode<K, V>* _right;//该节点的右孩子
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;//该节点是父亲节点
	int _bf;//平衡因子

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{}
};

template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}

		cur->_parent = parent;

		// ... 控制平衡
		// 更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else // if (cur == parent->_right)
			{
				parent->_bf++;
			}

			if (parent->_bf == 0)
			{
				// 更新结束
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				// 继续往上更新
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				// 子树不平衡了，需要旋转
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)//左单旋
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)//右单旋
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)//右左双旋
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)//左右双旋
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else
				{
					assert(false);
				}
				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}


		return true;
	}

	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* cur = parent->_left;
		Node* curRight = cur->_right;
		int bf = curRight->_bf;

		//复用左单旋转和右单旋转
		RotateL(cur);
		RotateR(parent);

		if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			cur->_bf = 0;
			curRight->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			cur->_bf = 0;
			curRight->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			cur->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
			curRight->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* cur = parent->_right;
		Node* curleft = cur->_left;
		int bf = curleft->_bf;
		//复用右单旋转和左单旋转
		RotateR(cur);
		RotateL(parent);

		if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			cur->_bf = 0;
			curleft->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			cur->_bf = 0;
			curleft->_bf = 0;
		}
		else if(bf == -1)
		{
			cur->_bf = 1;
			parent->_bf = 0;
			curleft->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* cur = parent->_left;
		Node* curRight = cur->_right;

		parent->_left = curRight;
		cur->_right = parent;
		Node* ppNode = parent->_parent;
		if (curRight)
		{
			curRight->_parent = parent;
		}

		parent->_parent = cur;

		if (parent == _root)
		{
			_root = cur;
			cur->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = cur;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = cur;
			}
			cur->_parent = ppNode;
		}
		cur->_bf = parent->_bf = 0;
	}

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* cur = parent->_right;
		Node* curleft = cur->_left;

		parent->_right = curleft;
		if (curleft)//判断是否为空，空的话就不用接上父亲节点
		{
			curleft->_parent = parent;
		}

		cur->_left = parent;

		Node* ppnode = parent->_parent;

		parent->_parent = cur;


		if (parent == _root)
		{
			_root = cur;
			cur->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = cur;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = cur;

			}

			cur->_parent = ppnode;
		}

		parent->_bf = cur->_bf = 0;
	}

	int TreeHight(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return 0;
		int leftHight = TreeHight(root->_left);
		int rightHight = TreeHight(root->_right);
		return leftHight > rightHight ? leftHight + 1 : rightHight + 1;
	}

	void Inorder()
	{
		_Inorder(_root);
	}

	bool IsBalance()
	{
		return _IsBalance(_root);
	}
private:
	void _Inorder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return;

		_Inorder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_Inorder(root->_right);
	}
	bool _IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return true;
		int leftHight = TreeHight(root->_left);
		int rightHight = TreeHight(root->_right);
		//检查平衡因子对不对
		if (rightHight - leftHight != root->_bf)
		{
			cout << "平衡因子出现异常" << endl;
			return false;
		}
		//需要递归检查是否平衡
		return (leftHight - rightHight <= 1 && leftHight - rightHight >= -1)
			&& _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right);
	}

private:
	Node* _root = nullptr;
};

测试代码：

#include "9.7AVLtree.h"

int main()
{

	//int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
	//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	//int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };
	//AVLTree<int, int> t;
	//for (auto e : a)
	//{
	//	t.Insert(make_pair(e, e));
	//}
	// 
	//	t.Inorder();
	//
	//	cout << t.IsBalance() << endl;

	srand((unsigned int)time(0));
	const size_t N = 10000;
	AVLTree<int, int> t;
	for (size_t i = 0; i < N; ++i)
	{
		size_t x = rand();
		t.Insert(make_pair(x, x));
		//cout << t.IsBalance() << endl;
	}

	t.Inorder();

	cout << t.IsBalance() << endl;
	
	return 0;
}

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