引言

承接前文的常数项级数，我们来继续看看关于幂级数的内容。

二、幂级数

2.1 基本概念

函数项级数 —— 设 ${u_n(x)\}$ 为函数列，称 $\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ 为函数项级数。当 $x=x_0$ 时，若常数项级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n(x_0)$ 收敛，称 $x=x_0$ 为函数项级数的收敛点；若 $\sum_{n=1}^\infty u_n(x_0)$ 发散，称 $x=x_0$ 为发散点。所有收敛点组成的集合称为收敛域，所有发散点组成的集合为发散域。记 $S_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+\dots+u_n(x)$ ，在收敛域内，设 $S(x)=\lim S_n(x)$ ，称 $S (x)$ 为和函数。

看得头大了，举一个实例增进理解。比如当 $u_n(x)=x/n$ 时，那么 $\{u_n(x)\}=\{x,x/2,x/3,\dots x/n,\dots\}$ ，如果 $x = 1$ ，该级数就变为一个常数项级数 $\{1,1/2,\dots,1/n,\dots \}$ 。

幂级数 —— 形如 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 或 $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ 的级数称为幂级数。

2.2 幂级数的收敛半径与收敛域

定理 1（阿贝尔定理） —— 对于幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ ，当 $x=x_0(x_0 \ne 0)$ 时，幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 收敛，则当 $x|<|x_0|$ 时，幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 绝对收敛；当 $x=x_1$ 时，幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 发散，则当 $x|>|x_1|$ 时，幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 发散。

由阿贝尔定理，对于任何一个幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ ，总存在 $\geq 0$ ，当 $∣ x ∣ < R$ 时， $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 绝对收敛；当 $∣ x ∣ > R$ 时，幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 发散，称 $R$ 为幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 的收敛半径。

定理 2 —— 对于幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 及其收敛半径 $R$ ，设 $\lim_{n\to\infty}\big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\big|=\rho,$ 则当 $\rho=0$ 时， $R=+\infty$ ；当 $\rho=+\infty$ 时， $R = 0$ ；当 $0<\rho<+\infty$ 时， $R=1/\rho.$

定理 3 —— 对于幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 及其收敛半径 $R$ ，设 $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho,$ 则当 $\rho=0$ 时， $R=+\infty$ ；当 $\rho=+\infty$ 时， $R = 0$ ；当 $0<\rho<+\infty$ 时， $R=1/\rho.$

一些笔记：

对于幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^{3n}$ ，设 $\lim_{n\to\infty}\big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\big|=\rho$ ，则 $R=\sqrt[3]{1/\rho}$ ；同理，对于 $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^{2n+1}$ ，若 $\lim_{n\to\infty}\big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\big|=\rho$ ，则 $R=\sqrt[2]{1/\rho}$ .

若对于幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n}$ ，当 $x=x_0$ 时，幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n}$ 条件收敛，则 $R=|x_0|.$

幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n}$ 与 $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^{n}$ 收敛半径相同，但前者收敛域以 $x = 0$ 为中心，后者收敛域以 $x=x_0$ 为中心。

2.3 幂级数的性质

设幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n}$ 的收敛半径为 $R$ ，其和函数为 $S (x)$ ，则有如下定理。

定理 1 —— 幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n}$ 的和函数 $S (x)$ 在 $(- R, R)$ 上连续。

若幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n}$ 在 $x = - R$ 处收敛，则幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^{n}$ 收敛于 $\lim_{x\to -R^+}S(x)$ ，即 $\sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^{n}=S(-R+0)$ ；

若幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n}$ 在 $x = R$ 处收敛，则幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_nR^{n}$ 收敛于 $\lim_{x\to R^-}S(x)$ ，即 $\sum_{n=0}^\infty a_nR^{n}=S(R-0)$ ；

定理 2（逐项可导性） —— 当 $x\in(-R,R)$ 时，有 $\big(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\big)'=\sum_{n=0}^\infty (a_nx^n)'=\sum_{n=0}^\infty na_nx^{n-1},$ 且幂级数 $\sum_{n=0}^\infty na_nx^{n-1}$ 的收敛半径也为 $R$ 。

定理 3（逐项可积性） —— 当 $x\in(-R,R)$ 时，有 $\int_0^x\big(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\big)dx=\sum_{n=0}^\infty \int_0^xa_nx^ndx=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}x^{n+1},$ 且幂级数 $\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$ 的收敛半径也为 $R$ 。