583. 两个字符串的删除操作

文档讲解：代码随想录 - 583. 两个字符串的删除操作
状态：再次回顾。

动态规划五部曲：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1为结尾的字符串word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数。
确定递推公式
- 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候
  - dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
- 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候
  - 情况一：删word1[i - 1]，最少操作次数为dp[i - 1][j] + 1
  - 情况二：删word2[j - 1]，最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1
  - 情况三：同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，操作的最少次数为dp[i - 1][j - 1] + 2
    因为 dp[i][j - 1] + 1 = dp[i - 1][j - 1] + 2，所以递推公式可简化为：dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);
dp数组如何初始化
从递推公式中，可以看出dp[i][0] 和 dp[0][j]要初始化。
dp[i][0]：word2为空字符串，以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素，才能和word2相同呢，很明显dp[i][0] = i。dp[0][j]的话同理，所以代码如下：
```
vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1));
for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;
```
确定遍历顺序
从递推公式 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1] + 2, min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1); 和dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]可以看出dp[i][j]都是根据左上方、正上方、正左方推出来的。
举例推导dp数组:
以word1:"sea"，word2:"eat"为例，推导dp数组状态图如下：

本题代码：

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1));
        for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
        for (int j = 0; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;
        for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                } else {
                    dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[word1.size()][word2.size()];
    }
};

时间复杂度: $O (n * m)$
空间复杂度: $O (n * m)$

72. 编辑距离

文档讲解：代码随想录 - 72. 编辑距离
状态：再次回顾。

动态规划五部曲：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。

确定递推公式

if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
	不操作；
	}
if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) {
	word1增加（插入）； // 相当于word2删除
	word1删除;
	word1替换;
	}

if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
}
else {
    dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1; 
    //从左到右分别是替换、删除、增加
}

dp数组如何初始化
dp[i][0] ：以下标·i-1为结尾的字符串word1，和空字符串word2，最近编辑距离为dp[i][0]。那么dp[i][0]就应该是i，对word1里的元素全部做删除操作，即：dp[i][0] = i;
同理dp[0][j] = j;
所以C++代码如下:
```
for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j; //dp[0][0]在上面已经处理过
```
确定遍历顺序
从递推公式 dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1; 和dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]可以看出dp[i][j]都是根据左上方、正上方、正左方推出来的。所以在dp矩阵中一定是从左到右从上到下去遍历。
举例推导dp数组:
以示例1为例，输入：word1 = "horse", word2 = "ros"为例，dp矩阵状态图如下：

本题代码：

class Solution {
public:
    int minDistance(string word1, string word2) {
        vector<vector<int>> dp(word1.size() + 1, vector<int>(word2.size() + 1, 0));
        for (int i = 0; i <= word1.size(); i++) dp[i][0] = i;
        for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) dp[0][j] = j;
        for (int i = 1; i <= word1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= word2.size(); j++) {
                if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                }
                else {
                    dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]}) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[word1.size()][word2.size()];
    }
};

时间复杂度: $O (n * m)$
空间复杂度: $O (n * m)$