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引言

承接前文，了解了图论相关的基本知识后，我们来看看几个图论中经典的问题。

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二、最小支撑树问题

2.1 树的定义及其基本性质

无圈的连通图称为树。

其有几个相互关联的基本性质。

树的性质 1 —— 若 $T$ 是树，且树中点的个数 $n_T\ge 2$ ，则 $T$ 中至少有两个悬挂点。

树的性质 2 —— 图 $T$ 是树，则 $T$ 中的边数 $m$ 等于点数 $n$ 减去 1 ，即 $m=n-1.$

树的性质 3 —— 图 $T$ 是树的充分必要条件是任意两个顶点之间恰有一条链。

由性质 3 可得如下推论：

1. 从一个树中去掉任意一边，则余下的图是不连通的。由此可知，在点集合相同的所有图中，树是含边树最少的连通图。
2. 在树中不相邻的两个点之间填上一条边，则恰好得到一个圈。

综上，可以归纳出树 $T$ 的六个基本性质，即：

1. 无圈图；
2. 连通图；
3. $m_T=n_T-1;$
4. 减去一条边不连通；
5. 加一条边恰有一个圈；
6. 至少两个悬挂点。

2.2 图的支撑树

设图 $T=(V,E^{\prime })$ 是图 $G=(V,E)$ 的支撑子图，如果图 $T$ 是一个树，称其为 $G$ 的一个支撑树。

定理 —— 图 $G$ 有支撑树的充要条件是图 $G$ 是连通的。

证明： 必要性显然成立。

充分性。设图 $G$ 是连通图，如果本身不含圈，其本身是一个树，从而 $G$ 是它本身的一个支撑树。如果 $G$ 含圈，从圈中任意地去掉一条边，可得到 $G$ 的一个支撑子图 $G_1$ 。如果 $G_1$ 不含圈，那么 $G_1$ 是 $G$ 的一个支撑树；如果 $G_1$ 含圈，那么从 $G_1$ 中任取一个圈，从圈中再去掉一条边，得到 $G_2$ ，如此重复，最终可以得到一个不含圈的支撑子图 $G_k$，即支撑树。

此定理充分性的证明也启发我们一个寻找连通图的支撑树的办法。就是任取一个圈，从圈中去掉一边，对余下的圈重复这个步骤，直到不含圈为止，即可得到一个支撑树，这种方法称为“破圈法” 。

也可以反过来想，从图中任取一条边 $e_1$ ，找一条不与 $e_1$ 构成圈的边 $e_2$ ，再找一条不与 $(e_1,e_2)$ 构成圈的边 $e_3$ ，直到不能进行为止。此时，由所有取出的边所构成的图是一个支撑树，称此种方法为“避圈法” 。

2.3 最小支撑树的定义及有关定理

给定无向网络 $G=(V,E,W)$ ，对于 $G$ 中的每条边 $e\in E$ ，设权 $w(e)\ge 0$ ，对于 $G$ 的每一个支撑树 $T$ ，我们定义 $T$ 的权为 $$W(T)=\sum _{e\in E}w(e)$$ 如果支撑树 $T^{\ast }$ 是所有支撑树中权最小者，则称 $T^{\ast }$ 为 $G$ 的最小支撑树。

定理 —— 设 $T$ 是网络 $G=(V,E,W)$ 的支撑树，任意一个树外的边 $e\in E$ ，唯一决定一个圈 $C(e)$ 。除 $e$ 外，$C(e)$ 的其他边都属于 $T$ ，如果 $T$ 是 $G$ 的一个最小支撑树，则 $e$ 是 $C(e)$ 中的最大权重边。

证明： 在圈 $C(e)$ 中任取另一条边 $e^{\prime }$ ，则 T ∪ { e } − { e ′ } T \cup\{e\}-\{e'\} T∪{e}−{e′} 仍然连通不含圈，即是一个树，记为 $T^{\prime }$ ，有 $W(T^{\prime })=W(T)+w(e)-w(e^{\prime })$ 。由于 $T$ 为最小支撑树，有 $W(T)\le W(T^{\prime })$ ，即 $w(e)\le w(e^{\prime })$ ，由于 $e^{\prime }$ 的任意性，故原命题得证。

定理 —— 设 $T$ 是网络 $G=(V,E,W)$ 的支撑树，则对于任意一条树上的边 $e\in E$ ，唯一地决定 $G$ 的一个割集 $\Phi (e)$ ，除了 $e$ 外，$\Phi (e)$ 上的其他边都不属于 $T$ ，如果 $T$ 是 $G$ 的最小支撑树，则 $e$ 是 $\Phi (e)$ 中的最小权重边。

2.4 最小支撑树算法

主要有三个算法，分别是避圈法、反圈法和破圈法。

2.4.1 避圈法（KRUSKAL算法）

首先将网络 $G$ 中的边按权大小排序，从最小边开始选起，每次选出一个新的边后要判断是否与所选的边构成一个圈，如果是则放弃该边，否则入选该边知道所选的边的数量等于点的数量减去 1 为止。每次选择边，优先选择权最小的边，所以又叫作最小边优选法。

2.4.2 反圈法（PRIM算法）

从图 $G=(V,E)$ 中任取一个顶点放入树 $T$ 的点集 $V_T$ 中，对于将图 $G$ 分成 $V_T,{\overline{V}}_T$ 的割集 $\Phi (V_T)$ 来说，选取一个权最小的边放入树 $T$ 的边集中，并将该边所关联的顶点放入 $V_T$ 中，重复上述步骤，直到所有顶点均选入 $V_T$ 为止。

2.4.3 破圈法

设 $G^{(k)}$ 是 $G$ 的连通生成子图（开始 $G^{(0)}=G$），若 $G^{(k)}$ 中不包含圈，则其为最小支撑树；若其中包含圈，选圈中权重最大的一条边去掉，重复上述过程，直到找不到圈为止。

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写在最后

下一个问题，我们来看看最短路问题！