Leetcode 面试题 17.01 不用加号的加法

news2025/1/23 10:29:27

设计一个函数把两个数字相加。不得使用 + 或者其他算术运算符。

示例:

输入: a = 1, b = 1
输出: 2

提示：

a, b 均可能是负数或 0
结果不会溢出 32 位整数

我的答案：

一、信息

1.设计一个函数把两个数相加

2.不得使用+或者其他运算符

3.a,b均为负数或0

4.结果不会溢出32位整数

二、分析

问题出现：

1.如何实现不用加法就实现两数相加呢？

我的思路:

思路1：通过将a,b转化成二进制，这样我们就能用二进制加法求解了。

新的问题出现：

该如何实现二进制加法呢？

首先我们可以观察二进制加法的规律

1101

+1010

10111

规律就是：

1 0 得1

1 1 得0

0 0 得0

我的答案其实很简单我们只需要通过与异或运算即可实现

问题2：该如何避免结果不会溢出32位整数呢？

我的实现：

为了不使用`+`或其他算术运算符来实现数字的加法，我们可以使用位操作。以下是基于此思路的解决方案：

### 1. C语言：

#include <stdio.h>

int add(int a, int b) {
    while (b != 0) {
        unsigned int carry = (unsigned int)(a & b) << 1; // 计算进位
        a = a ^ b;  // 不计算进位的加法
        b = carry; // 把进位放在b上，继续进行加法
    }
    return a;
}

int main() {
    int a = 1, b = 1;
    printf("Sum: %d\n", add(a, b));
    return 0;
}

2. C++：

#include <iostream>

int add(int a, int b) {
    while (b != 0) {
        unsigned int carry = (unsigned int)(a & b) << 1;
        a = a ^ b;
        b = carry;
    }
    return a;
}

int main() {
    int a = 1, b = 1;
    std::cout << "Sum: " << add(a, b) << std::endl;
    return 0;
}

JAVA：

public class AddWithoutPlus {
    public static int add(int a, int b) {
        while (b != 0) {
            int carry = a & b;  // 计算进位
            a = a ^ b;  // 不计算进位的加法
            b = carry << 1;  // 把进位放在b上，继续进行加法
        }
        return a;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int a = 1, b = 1;
        System.out.println("Sum: " + add(a, b));
    }
}

这些解决方案都是基于二进制表示的加法原理，利用位操作来实现的。当我们加两个二进制数时，可以分为两步：1) 不计算进位的加法，和 2) 计算进位。

英雄师傅的分析：

将a和b都转化成二进制以后，执行相加，举个简单的例子，例如a是21(二进制是10101)，b是12（二进制是1100），它们两个相加的值应该是33

对于两个数的对应相加，如果不产生进位就是异或的结果。（在我看来就是用异或来模拟这个过程）

比如说：

唯一没有提到的，就是1和1相加的情况，这种情况会产生进位，所以异或结果并不等于相加的结果，但是异或的结果等于相加后低位的值。换言之1+1=10，异或结果等于0，0和0相等，很合理。

基于上述观点，如果两个数二进制在相加的过程中，都没有出现1和1的情况，那么加法就等于两个数的异或。如果有进位，那么就要把进位的那部分单独拎出来。

什么时候有进位呢？当两个都为1的时候，也就是两个位与为1的时候，所以我们可以把a+b拆成两个部分

a^b和a&b

英雄师傅的实现过程：

int add(int a, int b){
    if(b==0){
        return a;
    }
    return add(a^b,((unsigned int)(a&b))<<1);
}

Leetcode 题解

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方法一：位运算
预备知识

有符号整数通常用补码来表示和存储，补码具有如下特征：

正整数的补码与原码相同；负整数的补码为其原码除符号位外的所有位取反后加 111。

可以将减法运算转化为补码的加法运算来实现。

符号位与数值位可以一起参与运算。

思路和算法

虽然题目只要求了不能使用算术运算符，但是原则上来说也不宜使用类似的运算符 +=\texttt{+=}+= 和 -=\texttt{-=}-= 以及 sum\texttt{sum}sum 等方法。于是，我们使用位运算来处理这个问题。

首先，考虑两个二进制位相加的四种情况如下：

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 (进位)
可以发现，对于整数 aaa 和 bbb：

在不考虑进位的情况下，其无进位加法结果为 a⊕b\texttt{a} \oplus \texttt{b}a⊕b。

而所有需要进位的位为 a & b\texttt{a \& b}a & b，进位后的进位结果为 (a & b) << 1\texttt{(a \& b) << 1}(a & b) << 1。

于是，我们可以将整数 aaa 和 bbb 的和，拆分为 aaa 和 bbb 的无进位加法结果与进位结果的和。因为每一次拆分都可以让需要进位的最低位至少左移一位，又因为 aaa 和 bbb 可以取到负数，所以我们最多需要 log⁡(max_int)\log (max\_int)log(max_int) 次拆分即可完成运算。

因为有符号整数用补码来表示，所以以上算法也可以推广到 000 和负数。

实现

在 C++\texttt{C++}C++ 的实现中，当我们赋给带符号类型一个超出它表示范围的值时，结果是 undefined\text{undefined}undefined；而当我们赋给无符号类型一个超出它表示范围的值时，结果是初始值对无符号类型表示数值总数取模的余数。因此，我们可以使用无符号类型来防止溢出。

在 Python\texttt{Python}Python 的实现中，因为 Python\texttt{Python}Python 的整数类型为是无限长的，所以无论怎样左移位都不会溢出。因此，我们需要对 Python\texttt{Python}Python 中的整数进行额外处理，以模拟用补码表示的 323232 位有符号整数类型。具体地，我们将整数对 2322^{32}2
32
取模，从而使第 333333 位及更高位均为 000；因为此时最终结果为用补码表示的包含符号位的 323232 位整数，所以我们还需要再次将其换算为 Python\texttt{Python}Python 的整数。

C++:

class Solution {
public:
    int add(int a, int b) {
        while (b != 0) {
            unsigned int carry = (unsigned int)(a & b) << 1;
            a = a ^ b;
            b = carry;
        }
        return a;
    }
};

JAVA:

class Solution {
    public int add(int a, int b) {
        while (b != 0) {
            int carry = (a & b) << 1;
            a = a ^ b;
            b = carry;
        }
        return a;
    }
}