1143.最长公共子序列

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给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度，如果不存在公共子序列，返回 0
一个字符串的子序列是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串
例如，“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列
两个字符串的公共子序列是这两个字符串所共同拥有的子序列

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 
输出：3

确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]
确定递推公式
主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的
即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}

dp数组如何初始化
先看看dp[i][0]应该是多少呢？
test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i][0] = 0；
同理dp[0][j]也是0
其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0
代码：

vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0));

确定遍历顺序
从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i][j]，如图：
在这里插入图片描述
那么为了在递推的过程中，这三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵
举例推导dp数组
以输入：text1 = “abcde”, text2 = “ace” 为例，dp状态如图：

最后红框dp[text1.size()][text2.size()]为最终结果

class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= text1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= text2.size(); j++) {
                if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[text1.size()][text2.size()];
    }
};

1035.不相交的线

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在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数
现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足满足：
nums1[i] == nums2[j]
且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交
请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线
以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数
在这里插入图片描述

输入：nums1 = [1,4,2], nums2 = [1,2,4]
输出：2

本题说是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度！

class Solution {
public:
    int maxUncrossedLines(vector<int>& A, vector<int>& B) {
        vector<vector<int>> dp(A.size() + 1, vector<int>(B.size() + 1, 0));
        for (int i = 1; i <= A.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= B.size(); j++) {
                if (A[i - 1] == B[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[A.size()][B.size()];
    }
};

53. 最大子序和动态规划

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给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和
子数组是数组中的一个连续部分

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6

动规五部曲如下：
确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]
确定递推公式
dp[i]只有两个方向可以推出来：
dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和
一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
dp数组如何初始化
从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础
dp[0]应该是多少呢?
根据dp[i]的定义，很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]
确定遍历顺序
递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历
举例推导dp数组
以示例一为例，输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，对应的dp状态如下：
在这里插入图片描述
注意最后的结果可不是dp[nums.size() - 1]！，而是dp[6]
在回顾一下dp[i]的定义：包括下标i之前的最大连续子序列和为dp[i]
那么我们要找最大的连续子序列，就应该找每一个i为终点的连续最大子序列
所以在递推公式的时候，可以直接选出最大的dp[i]

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() == 0) return 0;
        vector<int> dp(nums.size());
        dp[0] = nums[0];
        int result = dp[0];
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]); // 状态转移公式
            if (dp[i] > result) result = dp[i]; // result 保存dp[i]的最大值
        }
        return result;
    }
};