494. 目标和
文章目录
- [494. 目标和](https://leetcode.cn/problems/target-sum/)
- 一、题目
- 二、题解
- 方法一：目标和路径计数算法
- 方法二：01背包
- 方法三：01背包一维数组
一、题目
给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。
向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：
- 例如，
nums = [2, 1]，可以在2之前添加'+'，在1之前添加'-'，然后串联起来得到表达式"+2-1"。
返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。
示例 1：
输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3
示例 2：
输入：nums = [1], target = 1
输出：1
提示：
1 <= nums.length <= 200 <= nums[i] <= 10000 <= sum(nums[i]) <= 1000-1000 <= target <= 1000
二、题解
方法一：目标和路径计数算法
思考过程可以分为以下几步：
-
问题拆解： 首先，将问题拆解为更小的子问题。在这个问题中，我们可以将目标和问题拆解为在给定数组中选择一些数字，使得它们的和等于目标值。
-
状态定义： 确定动态规划的状态。在这个问题中，我们可以考虑使用二维数组
dp[i][j]表示在前i个数字中，和为j的表达式的数量。 -
状态转移方程： 找到状态之间的转移关系。这是动态规划问题的核心。在这个问题中，对于每个数字
nums[i]，我们有两种选择：添加正号或者添加负号。因此，状态转移方程可以表示为：dp[i][j] = dp[i-1][j-nums[i]] + dp[i-1][j+nums[i]]，即前i-1个数字和为j-nums[i]的表达式数量加上前i-1个数字和为j+nums[i]的表达式数量，最后的数字是dp[i][j] = dp[i-1][abs(j-nums[i])] + dp[i-1][j+nums[i]]，因为如果j < nums[i]，我们是可以通过dp[i-1][nums[i]-j]得到dp[i][j]的。举个例子，如图，为什么dp[2][0] = 2？图中已经说明白了。
-
边界条件： 根据问题的实际情况，确定边界条件。在这个问题中，我们可以从第一个数字开始考虑，初始化
dp[0][j]，表示只有一个数字时，和为j的表达式数量。 -
问题求解： 根据状态转移方程和边界条件，从小问题逐步求解到原问题。填充二维数组
dp，最终dp[nums.size()-1][abs(target)]就是我们要的答案，表示在所有数字中，和为target的表达式数量。
class Solution {
public:
int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
// 定义一个二维数组 dp，大小为 (nums.size(), 2001)，其中 dp[i][j] 表示在前 i 个数字中，和为 j 的表达式数量
vector<vector<int>> dp(nums.size(), vector<int>(2001, 0));
// 初始化：处理只有一个数字的情况
for(int i = 0; i <= 1000; i++){
if(nums[0] == i){
if(nums[0] == 0) dp[0][i] = 2; // 对于数字 0，可以有正号或负号
else dp[0][i] = 1;
}
}
// 填写 dp 数组
for(int i = 1; i < nums.size(); i++){
for(int j = 0; j <= 1000; j++){
dp[i][j] = dp[i-1][abs(j-nums[i])] + dp[i-1][j+nums[i]]; // 根据状态转移方程计算 dp[i][j]
}
}
return dp[nums.size()-1][abs(target)]; // 返回在所有数字中，和为 target 的表达式数量
}
};
方法二：01背包
01背包问题通常是这样的：给定一组物品，每个物品有重量和价值，我们要选择一些物品放入一个容量有限的背包中，使得背包中物品的总重量不超过背包的容量，同时最大化物品的总价值。
在这道题中，我们可以将正数部分和负数部分（前面是加号的和前面是减号的）的数字分别看作两组物品。正数部分的数字相当于具有正的价值，负数部分的数字相当于具有负的价值。
具体步骤如下：
-
将数组
nums拆分成两个子数组：add和minus。add包含所有正数部分的数字，minus包含所有负数部分的数字。我们可以得到
add-minus = target，add+minus = sum，从而根据这两个式子得出(sum+target)/2 = add。 -
使用01背包的思想：这个问题就转化成了所有数字凑成
add这个数的方法。即背包容量是add，物品是nums数组里的所有元素。 -
使用动态规划来解决问题：我们创建一个二维数组
dp，其中dp[i][j]表示在考虑前i个物品时，总和等于j的方法数。- 初始化
dp[0][0]为 1，因为当没有物品可选时，总和为 0 是唯一的一种方式；但如果nums[0] = 0，还有一种方式就是只取nums[0]，则有两种方式。 - 对于其它物品
nums[i]，我们根据以下规则更新dp[i][j]：- 如果
j >= nums[i]，那么我们可以选择是否将nums[i]放入背包，dp[i][j]等于不放入背包和放入背包方式的总和，即dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-nums[i]]。 - 如果
j < nums[i]，则nums[i]不可以放入背包dp[i][j] = dp[i-1][j]。
- 如果
- 初始化
-
最终的答案是
dp[nums.size()-1][add]，表示在考虑所有物品后，总和等于add的方法数。
class Solution {
public:
int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
int sum = 0;
// 计算数组nums的总和
for(int i = 0; i < nums.size(); i++){
sum += nums[i];
}
// 如果总和与目标值之和为奇数，或者总和小于目标值的绝对值，则无解，返回0
if((sum + target) % 2 == 1 || sum < abs(target)){
return 0;
}
// 计算要构造的正数部分和，这是01背包问题中的背包容量
int add = (sum + target) / 2;
// 创建二维动态规划数组dp
vector<vector<int>> dp(nums.size(),vector<int>(add+1, 0));
// 初始化dp数组
for(int i = 0; i <= add; i++){
// 如果i等于第一个数字nums[0]，表示可以用第一个数字构造和为i的方式有1种
if(i == nums[0]){
dp[0][i] = 1;
}
}
// 特殊情况处理
if(nums[0] == 0) dp[0][0] = 2;
// 普通情况：当没有物品可选时，总和为 0 是唯一的一种方式
else dp[0][0] = 1;
// 填写dp数组
for(int i = 1; i < nums.size(); i++){
for(int j = 0; j <= add; j++){
// 如果当前数字nums[i]大于目标和j，无法用当前数字构造
if(nums[i] > j) dp[i][j] = dp[i-1][j];
// 选择是否将 `nums[i]` 放入背包，`dp[i][j]`等于不放入背包和放入背包方式的总和
else dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-nums[i]];
}
}
// 返回最终的结果，即在考虑所有数字后，构造和为add的方法数
return dp[nums.size()-1][add];
}
};
方法三：01背包一维数组
具体细节就是初始化这里，这个dp[0] = 1相当于是按照结论推初始化（因为按照二维的初始化方式是错误的），最好还是去理解一下二维的吧……
class Solution {
public:
int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
int sum = 0;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
if (abs(target) > sum) return 0;
if ((target + sum) % 2 == 1) return 0;
int add = (target + sum) / 2;
vector<int> dp(add + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
for (int j = add; j >= nums[i]; j--) {
dp[j] += dp[j - nums[i]];
}
}
return dp[add];
}
};
