写在前面

从之前的章节中我们了解到，影响算法性能的主要因素是其所需的步数。

然而，我们不能简单地把一个算法记为“22步算法”，把另一个算法记为“400步算法”，因为一个算法的步数并不是固定的。

以线性查找为例，它的步数等于数组的元素数量。如果数组有22个元素，线性查找就需要 22步；如果数组有 400个元素，线性查找就需要 400步。

量化线性查找效率的更准确的方式应该是：对于具有 N 个元素的数组，线性查找最多需要 N步。

为了方便表达数据结构和算法的时间复杂度，计算机科学家从数学界借鉴了一种简洁又通用的方式，那就是大 O 记法。

掌握了大 O记法，就掌握了算法分析的专业工具。

1.大O：数步数

为了统一描述，大 O不关注算法所用的时间，只关注其所用的步数。

第 1章介绍过，数组不论多大，读取都只需 1步。用大 O记法来表示，就是：O(1)

O(1)意味着一种算法无论面对多大的数据量，其步数总是相同的。

就像无论数组有多大，读取元素都只要 1 步。这 1 步在旧机器上也许要花 20 分钟，而用现代的硬件却只要 1 纳秒。但这两种情况下，读取数组都是 1步。其他也属于 O(1)的操作还包括数组末尾的插入与删除。之前已证明，无论数组有多大，这两种操作都只需 1步，所以它们的效率都是O(1)。

下面研究一下大 O 记法如何描述线性查找的效率。回想一下，线性查找在数组上要逐个检查每个格子。在最坏情况下，线性查找所需的步数等于格子数。即如前所述：对于 N个元素的数组，线性查找需要花 N步。

用大 O记法来表示，即为：O(N)

2.常数时间与线性时间

从 O(N)可以看出，大 O 记法不只是用固定的数字（如 22、440）来表示算法的步数，而是基于要处理的数据量来描述算法所需的步数。

或者说，大 O 解答的是这样的问题：当数据增长时，步数如何变化？

O(N)算法所需的步数等于数据量，意思是当数组增加一个元素时，O(N)算法就要增加 1步。而 O(1)算法无论面对多大的数组，其步数都不变。

当数据增加一个单位时，算法也随之增加一步。也就是说，数据越多，算法所需的步数就越多。O(N)也被称为线性时间。

相比之下，O(1)则为一条水平线，因为不管数据量是多少，算法的步数都恒定。所以，O(1)也被称为为常数时间。

因为大 O主要关注的是数据量变动时算法的性能变化，所以，即使一个算法的恒定步数不是 1，它也可以被归类为 O(1)。

O(1)永远比O(N)更高效，原因在于，当元素数量无限增多时，O(N)总会在某一临界值超过O(1)。

3.同一算法，不同场景

之前的章节我们提到，线性查找并不总是 O(N)的。当要找的元素在数组末尾，那确实是 O(N)。但如果它在数组开头，1步就能找到的话，那么技术上来说应该是 O(1)。所以概括来说，线性查找的最好情况是 O(1)，最坏情况是 O(N)。

虽然大 O 可以用来表示给定算法的最好和最坏的情景，但若无特别说明，大 O 记法一般都是指最坏情况。

这种悲观主义其实是很有用的：知道各种算法会差到什么程度，能使我们做好最坏打算，以选出最适合的算法。

4.第三种算法

上一章我们学到：在同一个有序数组里，二分查找比线性查找要快。

算法为何重要（二分查找）http://t.csdn.cn/YPs4s下面就来看看如何用大O记法描述二分查找。

二分查找的大 O记法是：O(log N)

简单分析一下，倘若要用二分查找在含有N个元素的有序数组中查找某个元素。

二分查找的基本思想是，每次我们都能排除掉一半的数据。

所以考虑最坏情况，就是数组里没有我们要查找的元素，那么我们每次排除一半的元素，多

少次才能全部排除（或者说只剩一个元素）呢？

答案是 $log_{2} N$ 。

简单来说，O(log N)意味着该算法当数据量翻倍时，步数加 1。