文章目录

贪心法
- 找零问题（change-making problem）
- - 贪心算法要求
  - - 基本思想
    - 适合求解问题的特征
- 背包问题
- - 0/1背包问题
  - - 0/1背包问题——贪心法
  - 分数背包问题
- 任务调度问题

贪心法

我在当前情况下，我把我做到最好。我也不管全局如何，整体如何。我就考虑我现在的这一个，或者这一小部分怎样最好。

贪心技术是一种设计算法的通用策略。
贪心技术的基本思想：
- 基于贪心选择准则，每次得到局部最优的选择。
- 希望利用局部最后得到全局最优解。
- 贪心选择性质：局部最优可以得到全局最优。
找到正确的贪心选择准则是设计贪心算法的关键。
- 不同的贪心选择准则可以得到不同的结果。

打个比方，我现在有几种选择：

学编程、打游戏、读书、去外面玩、去兼职、……

如果我的目的是提高自己的知识水平，那起码对于现在的这些选择来说，我选择“学编程”或者“读书”就是最优的。

只是说当前这一步怎么走是最优的，也并没有去管后面的路怎么走。

比如你说选择“打游戏”，后面可能也会更成功，但是不管这个。

找零问题（change-making problem）

给定无限多不同面额的硬币 $d_1>...>d_m$ ，对于总额 $n$ ，如何找到最少的硬币数目？
问题：目标函数和约束条件是什么？

例如：

$d_1=25c,d_2=10c,d_3=5c,d_4=1c，而且n=48c$ 。

我们可能想，要使得硬币数目最少，那简单啊。

先紧着面额最大的来凑就行了。

先拿个25c的、再拿两个10c的，5c的没法拿，于是再拿3个1c的。

于是得到贪婪解：<1,2,0,3>。

我们这个策略就是，很简单，先紧着最大的拿。

但是我们虽然这样做了，而且貌似可行。

但是实际上，它对于大多数情况而言，这样可能是没问题的；但是没法保证所有情况啊，你没法保证对于所有情况、任意某一种情况，这样都没问题。

有一些情况，你这样做，可能就压根不是最优解了。

但是：

对大多数常用的硬币面额都可以得到最优解。
对任意硬币面额，有可能不是最优解。

例如：

$d_1=25c,d_2=10c,d_3=1c而且n=30c$ 。

那么你还按照上面的规则，

先拿个25c的，然后拿五个1c的。——此时是6个硬币。

但实际上我们可以看出，直接拿三个10c的就够了，而且只用3个硬币。

所以可见，我们刚才的那种简单的想法：先紧着大面额的拿。

这种方法，可能在某些情况下没毛病，但是在有些情况下就不对了、不是最优解了。

**那咋办呢。**是不是我的想法、我的策略设计的有问题呢？

那到底咋样弄，才能对于所有情况都能得到最优解呢？

我们可以用回溯法。（不是讲贪心吗，咋又说回溯了？——后面再说这个问题）

**贪婪法：**建议通过一系列步骤来构造问题的解，每一步对目前构造的部分解做一个扩展，直到获得问题的完全解。（完全解，不是最优解）
必须满足：可行、局部最优、不可取消。

贪心算法要求

可行的：即它必须满足问题的约束。
局部最优：它是当前步骤中所有可行选择中最佳的局部选择。
不可取消：即选择一旦做出，在算法的后面步骤中就无法改变了。

就像人生中的一些选择一样，就是贪心算法么，每次选的是局部最优，而且选了之后就没法取消了。

在每一步中，它要求“贪婪”地选择最佳操作，并希望通过一系列局部的最优选择，能够产生一个整个问题的（全局的）最优解。

基本思想

从问题的某一个初始解出发，通过一系列的贪心选择（当前状态下的局部最优选择），逐步逼近给定的目标，尽可能快地求得更好的解。
在贪心算法（greedy method）中也采用逐步构造最优解的方法。在每个阶段，都做出一个按某个评价函数最优的决策，该评价函数最优称为贪心准则（greedy criterion）。
贪心算法的正确性，就是要证明按贪心准则求得的解是全局最优解。
贪心算法不能对所有问题都得到全局最优解。
但是对于许多问题，它能够产生全局最优解。如单源最短路径问题，最小生成树问题等。

适合求解问题的特征

**贪心选择性质：**可通过局部最优（贪心）选择达到全局最优解。
- 通常以自顶向下的方式进行，每次选择后将问题转化为规模更小的子问题。
- 该性质是贪心法使用成功的保障，否则得到的是近优解。
最优子结构性质：问题的最优解包含它的子问题的最优解。
- 并不是所有具有最优子结构性质的问题都可以采用贪心策略。
- 往往可以利用最优子结构性质来证明贪心选择性质。

背包问题

0-1背包问题

给定n种物品和一个背包。物品i的重量是 $W_i$ ，其价值为 $V_i$ ，背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？

0-1背包问题，对于一个物品，0就是不拿它，1就是拿它。

在选择装入背包的物品时，对每种物品只有两种选择，要么装入背包、要么不装入背包。不能将一个物品装入背包多次，也不能只装入某物品的一部分。

背包问题

与0-1背包问题类似，所不同的是，在选择物品i装入背包时，可以选择物品i的一部分，而不一定要全部装入背包，1≤i≤n。

背包问题，也叫“分数背包问题”，对于一个物品，物品太大了，背包剩余空间不够了，此时我可以把物品拆下来、把一部分放进去。

0/1背包问题

已知
- 背包容量C>0
- n个物品，体积 $w_i>0$ ，价值 $p_i>0\ for\ i=1,...,n$
确定 ${1,2,...,n\}$ 的子集，满足：

$max\sum_{i∈A}p_i,subject\ to\ \sum_{i∈A}w_i≤C$

0/1背包问题——贪心法

有以下几种贪心选择准则：
- 最大价值优先——先选择最值钱的物品。
紧着最值钱的先往上放。
- 最小体积优先
紧着最小体积的先放，想装的多。
- 最大体积优先
想着一般大的东西都比较值钱？所以先紧着大件先放？
- 最大单位价值优先

这四个规则都有一定道理，那我们该选哪种呢？选最大价值优先？选最大单位价值优先？

没有一种方法能保证得到最优解

最大价值优先

（lb是重量单位，上面是价钱）

可见，最大价值优先，放进来的不一定是最优解。

最小体积优先

可见，最小体积优先，放进来的也不一定是最优解。

最大体积优先

可见，最大体积优先得到的也不一定是最优解。

最大单位价值优先

可见，这个也不一定能得到最优解。

分数背包问题

对于0/1背包问题，没有最优的贪心算法。
分数背包问题：可以将第i个物品的一部分放入背包。
对于分数背包问题，贪心算法是其不二选择，该算法基于最大单位价值的选择准则。（感觉有点类似于微积分里的微元思想）

这个就没啥好犹豫的了，我先紧着最大单位价值的往里面放，放不下整个物品的时候，我把当前最大单位价值的物品切出来一块往里面放。

这样最后包里放的肯定是价值最大的情况。

贪心算法过程：
- 降序排序 $v_i/w_i$ 。
- 根据排序次序增加物品，直到这个物品装完，或是超出背包容量。
- 如果背包没有满，选择下一个物品开始装。

最优解证明

证明：

我们首先假设我们有一个最优解 $A_1$ ，那么我们首先找到 $A_1$ 里面平均价值最高的物品 $a_m$ ，然后我们将用商品里面平均价值最高的物品 $a_1$ 将 $a_m$ 进行全部替换或者部分替换得到解 $A_2$ ，又因为 $\frac{v_1}{w_1}≥\frac{v_m}{w_m}$ ，所以 $A_2$ 的总价值高于 $A_1$ 的总价值，这与 $A_1$ 是最优解矛盾，于是得到 $A_1$ 里面包含平均价值最高的物品。