24.排序，插入排序，交换排序

一. 插入排序

（1）直接插入排序

（2）折半插入排序

（3）希尔排序

二. 交换排序

（1）冒泡排序

（2）快速排序

排序：将一组杂乱无章的数据按一定规律顺次排列起来。即，将无序序列排成一个有序序列（由小到大或由大到小)的运算。如果参加排序的数据结点包含多个数据域，那么排序往往是针对其中某个域而言。

排序方法：

按数据存储介质：内部排序和外部排序
按比较器个数：串行排序和并行排序
按主要操作：比较排序和基数排序（后面会讲）
按辅助空间：原地排序和非原地排序
按稳定性：稳定排序和非稳定排序
按自然性：自然排序和非自然排序

本章学习内容：

插入排序：直接插入排序、折半插入排序、希尔排序
交换排序：冒泡排序、快速排序
选择排序：简单选择排序、堆排序
归并排序：2-路归并排序
基数排序

衡量排序算法的指标有时间复杂度，空间复杂度和稳定性等。对于稳定性做一点说明。稳定排序指的是能够使任何数值相等的元素，排序以后相对次序不变。例如，下面的示例1是稳定排序，示例2就不是稳定排序。

排序的稳定牲只对结构类型数据排序有意义。例如：n个学生信息（学号、姓名、语文、数学、英语、总分)，首先按数学成绩从高到低排序，然后按照总分从高到低排序。若是稳定排序，总分相同的情况下，数学成绩高的仍然排在前面。

存储结构：本章基于的存储结构均以顺序表存储。

#define MAXSIZE 20  //设记录不超过20个
typedef int KeyType;  //设关键字为整型量(int型)

typedef struct{  //定义每个记录（数据元素）的结构
    KeyType key;  //关键字
    InfoType otherinfo;  //其它数据项
}RedType;  //Record Type

typedef struct{  //定义顺序表的结构
    RedType r[MAXSIZE+1];  //存储顺序表的向量
    //r[0]一般作哨兵或缓冲区
    int length;  //顺序表的长度
}SqList;

一. 插入排序

基本思想：每步将一个待排序的对象，按其关键码大小，插入到前面已经排好序的一组对象的适当位置上，直到对象全部插入为止。即边插入边排序。

根据确定插入位置的方法不同，我们可以有以下三种插入排序的方法：

（1）直接插入排序

顺序法定位插入位置：一个一个比较。

首先，复制待插入的元素，复制插入元素。x=a[i]；
然后，记录后移，查找插入位置；for(j=i-1; j>=0&&x<a[j];j--)，a[j+1]=a[j]；
最后，插入到正确位置，a[j+1]=x；

对于复制待插入的元素，我们可以使用哨兵。把待插入的元素复制到0号位，这样省去了越界的判断：

此外，如果待插入元素比有序表最后一位还大，那就不用进行任何操作了，这个位置就是待插入元素的位置。

void InsertSort(SqList &L){
    int i, j;
    for(i=2; i<=L.length; ++i){  //第1个元素不用排序，从插入第2个元素开始
        if (L.r[i].key < L.r[i-1].key){  //若"<",需将L.r[i]插入有序子表
            L.r[0]=L.r[i];  //复制为哨兵
                for(j=i-1; L.r[0].key<L.r[j].key; --j){
                    L.r[j+1]=L.r[j];  //记录后移
                }
            L.r[j+1]=L.r[0];  //插入到正确位置
        }
    }
}

下面我们来分析时间效率。实现排序的基本操作有两个：(1)“比较”序列中两个关键字的大小；(2)“移动”记录。最好的情况是，关键字在记录序列中顺序有序。这时比较的次数是 $\sum_{i=2}^{n}1=n-1$ ，不需要移动。最坏的情况是，关键字在记录序列中逆序有序。这时比较的次数是 $\sum_{i=2}^{n}i=\frac{(n+2)(n-1)}{2}$ ，移动的次数是 $\sum_{i=2}^{n}(i+1)=\frac{(n+4)(n-1)}{2}$ ，从而我们可以得到以下结论：

原始数据越接近有序，排序速度越快；
最坏情况下(输入数据是逆有序的)Tw(n)=O(n^2)；
平均情况下，耗时差不多是最坏情况的一半Te(n)=O(n^2)；
空间复杂度是O（1）；
要提高查找速度，可以从减少元素的比较次数和减少元素的移动次数入手；

（2）折半插入排序

查找插入位置采用折半查找法。

void BlnsertSort (SqList &L){
    for (i = 2; i<= L.length ; ++i){  //依次插入第2~第n个元素
        L.r[0] = L.r[i];  //当前插入元素存到“哨兵”位置
        low = 1 ; high = i-1;  //采用二分查找法查找插入位置
        while (low <= high){
            mid = (low + high)/2;
            if (L.r[0].key < L.r[mid].key) high = mid-1;
            else low = mid + 1;
        }  //循环结束，high+1则为插入位置
        for (j=i-1; j>=high+1; --j) 
            L.r[j+1] = L.r[j];  //移动元素
            L.r[high+1] = L.r[0];  //插入到正确位置
}// BInsertSort

最后我们分析算法的时间效率。折半查找比顺序查找快，所以折半插入排序就平均性能来说比直按插入排序要快。它所需要的关键码比较次数与待排序对象序列的初始排列无关，仅依赖于对象个数。在插入第i个对象时，需要经过 $\left \lfloor log_2i \right \rfloor+1$ 次关键码比较，才能确定它应插入的位置。

当n较大时，总关键码比较次数比直接插入排序的最坏情况要好得多，但比其最好情况要差。在对象的初始排列已经按关键码排好序或接近有序时，直接插入排序比折半插入排序执行的关键码比较次数要少。对移动次数，折半插入排序的对象移动次数与直接插入排序相同，依赖于对象的初始排列。所以折半插入排序减少了比较次数，但没有减少移动次数。平均性能优于直接插入排序。其时间复杂度为O（n^2），空间复杂度是O（1），是一种稳定的排序方法。

（3）希尔排序

直接排序什么时候效率较高？一是序列基本有序，二是序列长度较小。基于此我们提出希尔排序的基本思路：先将整个待排记录序列分割成若干子序列，分别进行直接插入排序，待整个序列中的记录“基本有序”时，再对全体记录进行一次直接插入排序。希尔排序的算法特点是：

一次移动，移动位置较大，跳跃式地接近排序后的最终位置
最后一次只需要少量移动
增量序列必须是递减的，最后一个必须是1
增量序列应该是互质的

首先：定义增量序列 $D_k:D_M>D_{M-1}>...>D_1=1$ ，刚才的例子中 $D=[5,3,1]$
然后：对每个 $D_k$ 进行“ $D_k$ -间隔”插入排序(k=M，M-1，...1)。

//主程序
void ShellSort(Sqlist &L,int dlta[],int t){
    //按增量序列dlta[0..t-1]对顺序表L作希尔排序,t是增量序列的长度
    for(k=O; k<t; ++k)
        Shellnsert(L，dlta[k]);  //一趟增量为dlta[k]的插入排序
}//ShellSort

void ShellInsert(SqList &L,int dk){  
    //对顺序表L进行一趟增量为dk的Shell排序，dk为步长因子
    //和一趟直接插入排序相比，做了以下修改：
    //1.前后记录位置的增量是dk，不是1
    //2.r[0]只是暂存单元，不是哨兵，当j<=0时，插入位置已找到
    for(i = dk+1; i <= L.length; ++i)  
    //dk间隔排序，从dk+1开始排序，例如前面讲的一趟直接插入排序从第2个元素开始排序
        if(r[i].key < r[i-dk].key){  //比前面的大则不需要执行插入操作
            L.r[0] = L.r[i];  //暂存在L.r[0]
            for(j = i-dk; j>0 &&(r[0].key < r[j].key); j = j-dk)
                r[j+dk]=r[j];  //后移
        L.r[j+dk]=L.r[0];  //插入，退出循环时r[j]<r[0]，所以插到L.r[j+dk]的位置
        }
}

希尔排序的算法效率与增量序列的取值有关。

对于Hibbard增量序列， $D_k=2^k-1$ ，相邻元素互质。最坏情况 $T_{worst}=O(n^{3/2})$ ；猜想： $T_{avg}=O(n^{5/4})$ ；
Sedgewick增量序列{1,5,19,41,109...}， $D_k=9*4^i-9*2^i+1$ 或 $D_k=4^i-3*2^i+1$ 。猜想： $T_{avg}=O(n^{7/6})$ ， $T_{worst}=O(n^{4/3})$ ；

希尔排序法是一种不稳定的排序算法，例如对下面d=2的情况：

总结：对希尔排序来说，时间复杂度是n和d的函数，空间复杂度是O（1），是一种不稳定的排序方法。关于如何选择最佳d序列，目前尚未有解决方案。但是，最后一个增量值必须为1，其他序列元素之间无除了1之外的公因子。此外，希尔排序不宜在链式存储结构上实现。

二. 交换排序

基本思想：两两比较，如果发生逆序则交换，直到所有记录都排好序为止。

常见的交换排序方法：冒泡排序，快速排序。

（1）冒泡排序

给定初始序列：21，25，49，25*，16，08，n=6。

第1趟：
位置0，1进行比较——判断——不交换——结果：21，25，49，25*，16，08

位置1，2进行比较——判断——不交换——结果：21，25，49，25*，16，08

位置2，3进行比较——判断——交换——结果：21，25，25*，49，16，08

位置3，4进行比较——判断——交换——结果：21，25，25*，16，49，08

位置4，5进行比较——判断——交换——结果：21，25，25*，16，08，49

第1趟结束后：21，25，25*，16，08，49
第2趟：

位置0，1进行比较——判断——不交换——结果：21，25，25*，16，08，49

位置1，2进行比较——判断——不交换——结果：21，25，25*，16，08，49

位置2，3进行比较——判断——交换——结果：21，25，16，25*，08，49

位置3，4进行比较——判断——交换——结果：21，25，16，08，25*，49

第2趟结束后：21，25，16，08，25*，49

继续下一趟，每一趟增加一个有序元素。
第3趟结果：21，16，08，25，25*，49

第4趟结果：16，08，21，25，25*，49

第5趟结果：08，16，21，25，25*，49

总结：n个记录，需要比较n-1趟。第m趟需要比较n-m次。

void bubble_sort(SqList &L){  //冒泡排序算法
    int m,i,j; 
    RedType x;  //交换时临时存储
    for(m=1; m<=n-1; m++){  //总共需n-1趟
        for(j=1; j<=n-m; j++)  //第m趟需要比较n-m次
            if(L.r[j].key > L.r[j+1].key){  //发生逆序
                x=L.r[j]; L.r[j]=L.r[j+1]; L.r[j+1]=x;  //交换
            }//endif
    }//for
}

冒泡排序的优点：每趟结束时，不仅能挤出一个最大值到最后面位置，还能同的部力理顺其他元素。实际上，一旦某一趟比较时不出现记录交换,说明已排好序了，就可以结束本算法。所以我们可以增设一个标识flag：

void bubble_sort(SqList &L){  //改进的冒泡排序算法
    int m,i,j;
    flag=1;  //flag作为是否有交换的标记
    RedType x; 
    for(m=1; m<=n-1 && flag==1; m++){
        flag=0;
        for(j=1; j<=n-m; j++){
            if(L.r[j].key>L.r[j+1].key){//发生逆序
                flag=1;  //发生交换，flag置为1，若本趟没发生交换，flag保持为零
                x=L.r[j]; L.r[j]=L.r[j+1]; L.r[j+1]=x;  //交换
            }//endif
        }//for
    }
}

下面分析时间复杂度。最好情况是全为正序，这时比较次数是n-1，移动的次数是0；最坏情况是全为逆序，比较次数是 $\sum_{i=1}^{n-1}(n-i)=\frac{1}{2}(n^2-n)$ ，移动次数是 $3\sum_{i=1}^{n-1}(n-i)=\frac{3}{2}(n^2-n)$ （包含向中间辅助变量x移动）。所以，冒泡排序最好时间复杂度是O(n)，最坏时间复杂度为O(n^2)，平均时间复杂度为O(n^2)。冒泡排序算法中增加一个辅助空间temp，辅助空间为S(n)=O(1)，冒泡排序是稳定的排序算法。

（2）快速排序

快速排序是一种改进的交换排序。基本思想是递归思想：任取一个元素(如:第一个)为中心pivot，所有比它小的元素一律前放，比它大的元素一律后放，形成左右两个子表。对各子表重新选择中心元素并依此规则调整，直到每个子表的元素只剩一个（结束条件）。下面的过程，每个表中都选取第一个作为中心点（分界点）。

例如：给定序列

序列共8个数，界点直接取第一个数49，并把它搬到0号位。指针low=1，high=8.由于第1个位置已空，我们从后往前移动high，找一个小于界点的数把它搬到1号位。high--，当high=7的时候，数27满足，把27搬到1号位。此时7位空出来，我们向后移动low，找一个大于界点的数搬到空出来的7号位。low++，当low=3的时候，数65满足，把65搬到7号位，此时3号位空出来。我们再往前移动high，找一个大于界点的数搬到3号位。当high=6，数字13符合，13搬到3号位，6号位又空出。继续往后移动low，low=4，数97符合，97搬到6号位，4号位空出。然后往前移动high，high=5没有符合题意的，继续向前移动至high=4，此时high与low都重合。再把界点49填到4号位。此时8个数字的表就能以4号位49为界分成两个子表：前面1-3位，后面5-8位。然后在对两个子表分别执行相同的操作。

总结：①每一趟的子表的形成是采用从两头向中间交替式逼近法；②由于每趟中对各子表的操作都相似，可采用递归算法。

void main(){
    QSort(L, 1, L.length);
}

void QSort(SqList &L, int low, int high){  //对顺序表L快速排序
    if(low < high){  //长度大于1
        pivotloc = Partition(L, low, high);
        //将L一分为二，pivotloc为中心点元素排好序的位置
        QSort(L, low, pivotloc-1);  //对低子表递归排序
        QSort(L, pivotloc+1, high);  //对高子表递归排序
    }//end if 
}//QSort

int Partition(SqList &L, int low, int high){
    L.r[0] = L.r[low];  //取[low,high]的第一个元素作为中心点，并搬前面去 
    pivotkey = L.r[low].key;  //这里也是取中心点
    while (low < high){  //循环终止的条件是low=high
        while (low < high && L.r[high].key >= pivotkey) --high;  
        //low指针指的地方空出，前移high，直到找到一个小于pivotkey的
        L.r[low] = L.r[high];  //然后搬到空出的地方low，此时high又空出来

        while (low < high && L.r[low].key <= pivotkey) ++low;  
        //high指针指的地方空出，后移low，直到找到一个大于pivotkey的
        L.r[high] = L.r[low];  //然后搬到空出的地方high，此时low又空出来
    }
    L.r[low]=L.r[0];  //退出循环，再把最后指针重合的地方就是空的地方，填回中心点
    return low;  //返回中心点所在的位置
}

下面分析算法效率：可以证明，时间复杂度是 $O(nlog_2n)$ ，其中对上面的Qsort（）是 $O(log_2n)$ ，对下面的Partition（）是 $O(n)$ 。实验结果表明：就平均计算时间而言，快速排序是我们所讨论的所有内排序方法中最好的一个。