矩阵的行列式，determinate（简称det），是基于矩阵所包含的行列数据计算得到的一个标量。是为求解线性方程组而引入的。

1 行列式的定义

1.1 二阶行列式

    对于二阶线性方程组

    若b1b2都为0，则称齐次线性方程组，否则则称非齐次线性方程组

    当如下情况时：

    用消元法解得：

    然后简化成如下公式：

    则解上面的二元线性方程组可得：

    对于二阶和三阶行列式可用对角线法则。

1.2 N阶行列式

    从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。当m=n时所有的排列情况叫全排列。n阶排列共有n!个。

    如1,2,3三个元素的全排列共6种，如下：

1,2,31,3,22,1,32,3,13,1,23,2,1

    在一个排列中，如果一个较大的数排在了较小的数前面，就称这两个数构成一个逆序。一个排列逆序的总数称为该排列的逆序数。

    用f(j1j2...jn)表示排列j1j2...jn的逆序数，例如f(31542)=5

3 之前有0个数比它大1 之前有1个数比它大5 之前有0个数比它大4 之前有1个数比它大2 之前有3个数比它大0+1+0+1+3=5

    通过对二阶三阶行列式分析，可得二阶三阶和n阶的公式，如下：

    如下的例子计算：

2 行列式的性质

    用定义计算行列式的值是很困难的，一般都利用行列式的性质简化行列式为上(下)三角形行列式后再计算。

    规定如下行列式变换符号：

• 行列式i行(列)与j行(列)交换，记为ri↔rj(ci↔cj)

• 行列式的第i行(列)乘以常数c，记为cri(cci)

• 行列式的第j行(列)的k倍加到第i行(列)，记为ri+krj(ci+kcj)

    性质1：行列式行列互换，其值不变

    性质2：把行列式的任一行(列)所有元素乘以一个数k，等于用数k乘以这个行列式

    性质3：如果行列式的某一行(列)的每个元素都为0，则改行列式值为0

    性质4：如果行列式的某一行(列)的每个元素都是两个元素的和，则等于两个行列式的和

    性质5：交换一个行列式的某两行(列)，行列式的值异号

    性质6：交换一个行列式的有两行(列)完全相同或成比例，则该行列式的值为零

    性质7：把行列式的某一行(列)的倍数加到另一行(列)上，行列式的值不变

下图是一个简化例子：

3 代数余子式

    在n阶行列式D中，划去元素aij所在的行与列，剩下的元素按原来的顺序构成n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，为Mij。有记Aij=(-1)^(i+j)Mij，Aij称为元素aij的代数余子式。

    代数余子式主要是用来将高阶行列式化为低阶行列式。

    如下图的代数余子式：

    性质1:如第i行除了aij不为0其他都为0，则行列式的值如下：

    性质2:n阶行列式D等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，如下：

    性质3:n阶行列式D某一行(列)的各元素与另一行(列)对应的元素的代数余子式乘积之和等于0，如下：