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10、确知信号的时域性质主要包括自相关函数和互相关函数
(1)能量信号的自相关函数,公式为
自相关函数反映了一个信号与延迟τ后的同一个信号的相关程度。
当τ=0是,能量信号的自相关函数R(0)也就是该信号的能量E,即为
(2)能量信号的自相关函数与能量谱密度之间的关系
能量信号的自相关函数的傅里叶变换就是能量谱密度;能量信号的能量谱密度的逆傅里叶变换就是能量信号的自相关函数
推导过程如下:
能量谱密度公式:
能量信号为s(t),将其傅里叶变化S(f)称为频谱密度,用公式表示为:
对能量信号的自相关函数进行傅里叶变换:
令t`=t+τ,则
令S(f)=A(f)+jB(f),则S(-f)=A(f)-jB(f),带入可得:
由此可知R(τ)与|S(f)|^2构成一对傅里叶变换
(3)功率信号的自相关函数,公式为:
当τ=0时,功率信号的自相关函数R(0)等于信号的平均功率P,公式
(4)周期性功率信号的自相关函数和功率谱密度之间关系
周期性功率信号的自相关函数和功率谱密度P是傅里叶变换关系,R(τ)的傅里叶变换是功率谱密度,P(f)的逆傅里叶变换是R(τ)
推导过程如下:
平均功率P公式:
功率谱密度P(f)公式:
对周期性功率信号,自相关函数R(τ)
由此可得出:
(5)两个能量信号s1(t)和s2(t)的互相关函数,公式如下:
互相关函数反映了一个信号和延迟τ后的另一个信号间相关程度,互相关函数和两个信号相乘的前后次序有关,即:
推导过程:
(6)互相关函数和信号能量密度的关系
R12(τ)是S12(f)的逆傅里叶变换,S12(f)是R12(τ)的傅里叶变换
推导过程:
能量信号为s(t),将其傅里叶变化S(f)称为频谱密度,用公式表示为:
将S2(t+τ)带入可得:
上式中S12(f)为互能量密度
(7)两个功率信号s1(t)和s2(t)的互相关函数,公式如下:
互相关函数反映了一个信号和延迟τ后的另一个信号间相关程度,互相关函数和两个信号相乘的前后次序有关,即:
(6)互相关函数和功率谱的关系
周期性功率信号的互功率谱C12是其互相关函数R12(τ)的傅里叶系数
C12称为信号的互功率谱