123. 买卖股票的最佳时机III 
123. Best Time to Buy and Sell Stock III(英文力扣连接)
知识点：动规
状态：看思路ok
思路：

跟之前股票思路一样，多定义几个状态，此题要买两次，所以算上不操作一共有五个状态；

重要是在第一天如何初始化：

        dp[i][0]不操作，1持有一次，2卖一次不持有，3持有2次，4卖二次不持有；
        dp[0][0] = 0; //不操作为0
        dp[0][1] = -prices[0];//买一次就相当于减去当天的钱
        dp[0][2] = 0;// 买两次就是当天买当天卖
        dp[0][3] =-prices[0] ;// 买两次就是当天买当天卖后，又买了一次
        dp[0][4] = 0 ;// 买卖各两次

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(5, 0 )) ;
        // dp[i][0]不操作，1持有一次，2卖一次不持有，3持有2次，4卖二次不持有；
        dp[0][0] = 0; //不操作为0
        dp[0][1] = -prices[0];//买一次就相当于减去当天的钱
        dp[0][2] = 0;// 买两次就是当天买当天卖
        dp[0][3] =-prices[0] ;// 买两次就是当天买当天卖后，又买了一次
        dp[0][4] = 0 ;// 买卖各两次
        
        for(int i = 1; i < prices.size(); i++) {
            dp[i][0] = dp[i-1][0];
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i]);
            dp[i][2] = max(dp[i-1][2],dp[i-1][1] + prices[i]);
            dp[i][3] = max(   dp[i-1][3], dp[i-1][2] - prices[i]   );
            dp[i][4] = max(   dp[i-1][4], dp[i-1][3] + prices[i]   );
        }
        return dp[prices.size()-1][4];
    }
};

188.买卖股票的最佳时机IV 
188. Best Time to Buy and Sell Stock IV(英文力扣连接)
知识点：动规
状态：看思路ok
思路：

因为k次买卖，所以一共2K+1个（算上不操作的0），第i天都有一个for循环更新所有dp；

可以看成一共只有dp[i][j+1] （买入）和dp[i][j+2]（卖出）两种状态

class Solution {
public:
    int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
        int n = 1+2*k;
    vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(n, 0 )) ;
        // dp[i][0]不操作，1持有一次，2卖一次不持有，3持有2次，4卖二次不持有；
        for(int i = 1; i < 2*k; i= i+2) {
            dp[0][i] = - prices[0];
        }
        
        for(int i = 1; i < prices.size(); i++) {
            for(int j = 0;  j < 2*k ; j +=2) {
                dp[i][j+1] =  max(   dp[i-1][j+1], dp[i-1][j] - prices[i]   );//买入并持有
                dp[i][j+2] =  max(   dp[i-1][j+2], dp[i-1][j+1] + prices[i]   );//卖出并不持有
            }

            // dp[i][0] = dp[i-1][0];
            // dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i]);
            // dp[i][2] = max(dp[i-1][2],dp[i-1][1] + prices[i]);
            // dp[i][3] = max(   dp[i-1][3], dp[i-1][2] - prices[i]   );
            // dp[i][4] = max(   dp[i-1][4], dp[i-1][3] + prices[i]   );
        }
        return dp[prices.size()-1][n-1];
    }
};