1. 引言

computational complexity的核心问题在于：

计算机容易实现什么？计算机几乎不可能实现什么？

某hard problem从根本上有多困难？这是计算机科学家的基本任务，他们希望将问题分类为所谓的“complexity classes”。这些“complexity classes”中包含所有计算问题，这些计算问问题需要少于一定数量的计算资源——如时间或内存。
根据“complexity classes”，可将Hard Problems分为如下层级结构：
在这里插入图片描述
其中某类包含了其它所有hard problems，以及某些hard problems需要额外的计算资源。

举个简单例子，对于大数123,456,789,001，提2个问题：

问题1：该数是否为素数？即只能被1和其自身整除：计算机科学家可使用快速算法来解决该问题——算法不会因为数字变得任意大而陷入困境。
问题2：该数的素数因子有哪些？除非使用量子计算机，现在没有快速算法来解决该问题。

即，从计算机科学家的角度来看，这2个问题分属与不同的complexity classes。

现存有多种不同的complexity classes，但大多数情况下，研究人员还不能证明某类class与其他类的绝对不同之处。证明这些类型的分类区别是该领域最困难、最重要的公开问题之一。

complexity classes之间的差异可能是微妙的，也可能是明显的，保持类的straight（正统性）是一项挑战。出于这个原因，本文重点关注七个最基本的complexity classes：

1）P
2）BPP
3）BQP
4）NP
5）PH
6）PSPACE
7）EXPTIME

2. P

P表示：

Polynomial time。

所谓P hard problem，是指：

经典（即非量子）计算机易于解决的所有问题。

准确来说，是指：

P中的算法必须在最多 $n^c$ time时限内停止运行并给出正确答案，其中 $n$ 为输入长度， $c$ 为某常量值。

经典的P hard problem有：

某数字是素数么？
2点之间的最短路径？

当前研究人员想知道的是：

P与NP是否等价？若等价，它将颠覆计算机科学，并使大多数密码学在一夜之间失效。（几乎没有人认为是这样。）

3. NP

NP表示：

Nondeterministic Polynomial time

所谓NP hard problem，是指：

一旦给出问题的解决方案，可在经典计算机上快速验证的所有问题。

准确来说，是指：

若某问题为NP Problem，已知该问题答案为“yes”，则存在简短proof来证明该答案是正确的。若输入为string X，需判断其答案为“yes”，相应的简短proof为string Y，可使用Y在polynomial time内验证其答案确实是“yes”。（Y有时称为“short witness”——所有NP Problem都有可快速验证的“short witness”。）

经典的NP hard problem有：

成团问题。想象一个有边和节点的图——如，该图中，节点是Facebook上的个人，若两个节点是“朋友”，则通过一条边连接。团是该图的一个子集，团中所有人都是其他人的朋友。有人可能会问在图中：是否有20人的团？50人？100？找到这样的团是一个“NP-complete”问题，即意味着它是NP中任何问题中复杂度最高的。但如果给出一个潜在的答案——50个节点的子集，可能形成也可能不形成团——则很容易检查。
旅行推销员问题。给定一个城市列表，以及两两城市间的举例，有没有一种方法可以在不到一定英里数的情况下穿过所有城市？如，一个旅行推销员能在不到11000英里的范围内穿过美国的各州首府吗？

当前研究人员想知道的是：

P与NP是否等价？计算机科学家离解决该问题还差得很远。

4. PH

PH代表：Polynomial Hierarchy

所谓PH hard problem，是指：

为NP的泛化。其包含了所有NP问题，并增加了额外的complexity layer。

准确来说，是指：

PH中包含一些具有alternating “quantifiers”（交替量词）的问题，这些“quantifiers”使问题更加复杂。alternating “quantifiers”问题举例：给定X，是否存在Y，对于每个Z都存在W，使得R发生？一个问题包含的量词越多，它就越复杂，其多项式层次也越高。

经典的PH问题为：