本文内容借鉴一本我非常喜欢的书——《数据结构与算法图解》。学习之余，我决定把这本书精彩的部分摘录出来与大家分享。

写在前面

算法这个词听起来很深奥，其实不然。它只是解决某个问题的一套流程。

准备一碗麦片的流程也可以说是一种算法，它包含以下 4步（对我来说是 4步吧）。

(1) 拿个碗。

(2) 把麦片倒进碗里。
(3) 把牛奶倒进碗里。
(4) 把勺子放到碗里。

在计算机的世界里，算法则是指某项操作的过程。

上一章我们研究了 4种主要操作，包括读取、查找、插入和删除。

这一章我们还是会经常提到它们，而且一种操作可能会有不止一种做法。也就是说，一种操作会有

多种算法的实现。

我们很快会看到不同的算法能使代码变快或者变慢——高负载时甚至慢到停止工作。不过，现在先

来认识一种新的数据结构：有序数组。它的查找算法就不止一种，我们将会学习如何选出正确的那

种。

1.有序数组

有序数组跟上一章讨论的数组几乎一样，唯一区别就是有序数组要求其值总是保持有序。即每次插

入新值时，它会被插入到适当的位置，使整个数组的值仍然按顺序排列。

以数组 [3,17,80,202] 为例。

假设这是个常规的数组，你准备将 75插入，那就可以把它放到尾端，如下所示。

如上一章所述，计算机只要 1步就能完成这种操作。

但如果这是一个有序数组，你就必须要找到一个适当的位置，使插入 75 之后整个数组依然有序。

做起来可不像说的那么简单。整个过程不可能一步完成，因为计算机需要先找出那个适当的位置，

然后将其及以后的值右移来腾出空间给 75。

下面就来介绍分解的步骤。

先回顾一下原始的数组。

第 1步：检查索引 0的值，看 75应该在它的左边还是右边。

因为 75大于 3，所以 75应该在它右边的某个位置。而具体的位置，目前还是不能确定，于是再检查下一个格子。

第 2步：检查下一格的值。

因为 75大于 17，所以继续

第 3步：检查下一格的值。

这次是 80，大于 75。因为这是第一次遇到大于 75的值，可想而知，必须把 75放在 80的左侧以使整个数组维持有序。但要在这里插入 75，还得先将它的位置空出来。

第 4步：将最后一个值右移。

第 5步：将倒数第二个值右移。

第 6步：终于可以把 75插入到正确的位置上了。

可以看到，往有序数组中插入新值，需要先做一次查找以确定插入的位置。这是它跟常规数组的关

键区别（在性能方面）之一。虽然插入的性能比不上常规数组，但在查找方面，有序数组却有着特

殊优势。

2.查找有序数组

上一章介绍了常规数组的查找方式：从左至右逐个格子检查直至找到。这种方式称为线性查找。

接下来看看有序数组的线性查找跟常规数组有何不同。

设一个常规数组 [17,3,75,202,80] ，如果想在里面查找 22（其实并不存在），那你就得逐个元素

去检查，因为 22 可能在任何一个位置上。要想在到达末尾之前结束检查，那么所找的值必须在末

尾之前出现。

然而对于有序数组来说，即便它不包含要找的值，我们也可以提早停止查找。假设要在有序数组

[3,17,75,80,202] 里查找 22，我们可以在查到 75的时候就结束，因为 22不可能出现在 75的右边。

以下是用C语言实现的有序数组线性查找。

int Search(int arr[], int sz,int val)
{
	//遍历数组的每个元素
	for (int i = 0; i < sz; i++)
	{

		if (arr[i] > val)
		{
			return -1;
		}
		if (arr[i] == val)
		{
			//找到了，返回val的索引
			return i;
		}
	}
	//找不到，返回-1
	return -1;
}

因此，有序数组的线性查找大多数情况下都会快于常规数组。除非要找的值是最后那个，或者比最

后的值还大，那就只能一直查到最后了。

只看到这里的话，可能你还是不会觉得两种数组在性能上有什么巨大区别。

这是因为我们还没释放算法的潜能。这是接下来就要做的

今天我们提到的查找有序数组的方法就只有线性查找。但其实，线性查找只不过是查找算法的其中

一种而已。这种逐个格子检查直至找到为止的过程，并不是查找的唯一途径。

有序数组相比常规数组的一大优势就是它可以使用另一种查找算法。此种算法名为二分查找，它比

线性查找要快得多。

3.二分查找

你小时候或许玩过这样一种猜谜游戏（或者现在跟你的小孩玩过）：我心里想着一个 1到 100之间

的数字，在你猜出它之前，我会提示你的答案应该大一点还是小一点。

你应该凭直觉就知道这个游戏的策略。一开始你会先猜处于中间的 50，而不是 1。为什么？

因为不管我接下来告诉你更大或是更小，你都能排除掉一半的错误答案！

如果你说 50，然后我提示要再大一点，那么你应该会选 75，以排除掉剩余数字的一半。如果在

75之后我告诉你要小一点，你就会选 62或 63。总之，一直都猜中间值，就能不断地缩小一半的范

围。

下面来演示这个过程，但仅以 1到 10为例。

这就是二分查找的通俗描述。

有序数组相比常规数组的一大优势就是它除了可以用线性查找，还可以用二分查找。常规数组因为

无序，所以不可能运用二分查找。为了看出它的实际效果，假设有一个包含 9个元素的有序数组。

计算机不知道每个格子的值，如下图所示。

然后，用二分查找来找出 7，过程如下。

第 1步：检查正中间的格子。因为数组的长度是已知的，将长度除以 2，我们就可以跳到确切的内

存地址上，然后检查其值。

值为 9，可推测出 7应该在其左边的某个格子里。而且，这下我们也排除了一半的格子，即 9右边

的那些（以及 9本身）。

第 2步：检查 9左边的那些格子的最中间那个。因为这里最中间有两个，我们就随便挑了左边的。

它的值为 4，那么 7就在它的右边了。由此 4左边的格子也就排除了。

第 3步：还剩两个格子里可能有 7。我们随便挑个左边的。

第 4步：就剩一个了。（如果还没有，那就说明这个有序数组里真的没有 7。）

终于找到 7了，总共 4步。是的，这个有序数组要是用线性查找也会是 4步，但稍后你就会见识到

二分查找的强大。

以下是二分查找的 C语言实现。

int Search(int arr[], int sz, int val)
{
	int left = 0;                         //定义一个左指针
	int right = sz - 1;                   //定义一个右指针
	while (left <= right)
	{
		int mid = left+(right-left) / 2;  //防止越界
		if (arr[mid] == val)              //找到了，返回下标
		{
			return mid;
		}
		if (arr[mid] < val)
		{
			left = mid + 1;               //让mid+1成为新的左指针
		}
		if (arr[mid] > val)
		{
			right = mid - 1;              //让mid-1成为新的右指针
		}
	}
	return -1;                            //没找到，返回-1
}

4.二分查找与线性查找

对于长度太小的有序数组，二分查找并不比线性查找好多少。但我们来看看更大的数组。

对于拥有 100个值的数组来说，两种查找需要的最多步数如下所示。

 线性查找：100步

 二分查找：7步

用线性查找的话，如果要找的值在最后一个格子，或者比最后一格的值还大，那么就得查遍每个格

子。有 100个格子，就是 100步。

二分查找则会在每次猜测后排除掉一半的元素。100 个格子，在第一次猜测后，便排除了50 个。

再换个角度来看，你就会发现一个规律。

长度为 3的有序数组，二分查找所需的最多步数是 2。

若长度翻倍，变成 7（以奇数为例会方便选择正中间的格子，于是我们把长度翻倍后又增加

了一个数），则最多步数会是 3。

若再翻倍（并加 1），变成 15个元素，那么最多步数会是 4

规律就是，每次有序数组长度乘以 2，二分查找所需的最多步数只会加 1。

这真是出奇地高效。

相反，在 3 个元素的数组上线性查找，最多要 3 步，7 个元素就最多要 7 步，100 个元素就最多要

100步，即元素有多少，最多步数就是多少。数组长度翻倍，线性查找的最多步数就会翻倍，而二

分查找则只是增加 1 步。

这种规律可以用下图来展示。