1 01背包基础
背包概述：
1.1 01背包是什么
有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
1.2 01背包二维数组
二维数组还比较好理解，五步法详见代码注释，AC代码：
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10;
int weight[N];
int val[N];
int f[N][N]; // （i，j）表示只选取前i个商品 容积j的背包能够装的最大价值
/*
if(j < weight[i])f[i][j] = f[i-1][j]; //装不下就只有不装一条路
else f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+val[i]); //装的下就有装和不装两种选择
不装i 装i
第0行--f[0][j]
for(int j = 0; j <= m ; j++)
{
if(j >= weight[0])f[0][j] = val[0];
else f[0][j] = 0;
}
第0列—— f[i][0]全设置为0
顺序：先商品i后背包j（先背包后商品也行）
*/
int main()
{
int n,m;
cin >> n >> m;
for(int i = 0; i < n; i++)
{
int tmpw,tmpval;
cin >> tmpw >> tmpval;
weight[i] = tmpw;
val[i] = tmpval;
}
//初始化
for(int j = 0; j <= m ; j++)
if(j >= weight[0])f[0][j] = val[0];
else f[0][j] = 0;
for(int i = 0; i <= n; i++)f[i][0] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m; j++)
if(j < weight[i])f[i][j] = f[i-1][j]; //装不下就只有不装一条路
else f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+val[i]); //装的下就有装和不装两种选择
// for(int i = 0; i <= n; i++)
// {
// for(int j = 0; j <= m; j++)
// {
// cout << f[i][j] << ' ';
// }
// puts("");
// }
cout << f[n][m];
return 0;
}1.3 01背包一维数组（滑动数组）
滑动数组实质就是利用01背包二维数组版本中每个f[i][j]只会用到上一层左侧 f[i-1][j-xx] 的数据，所以把上一层左侧数据保存在当前行的左侧，并且每次在当前行内遍历时候从右往左边遍历。AC代码：
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10;
int weight[N];
int val[N];
int f[N]; // （j）表示容积j的背包能够装的最大价值
/*
转换方程：
if(j < weight[i])f[j] = f[j]; //装不下就只有不装一条路
else f[j] = max(f[j],f[j-weight[i]]+val[i]); //装的下就有装和不装两种选择
不装i 装i
第0行--f[0] = 0;
顺序：先商品i++后背包j--(j左边的作为上一层的记录),
*/
int main()
{
int n,m;
cin >> n >> m;
for(int i = 0; i < n; i++)
{
int tmpw,tmpval;
cin >> tmpw >> tmpval;
weight[i] = tmpw;
val[i] = tmpval;
}
//初始化
for(int i = 0; i <= n; i++)
for(int j = m; j >= 0; j--)
if(j < weight[i])f[j] = f[j]; //装不下就只有不装一条路
else f[j] = max(f[j],f[j-weight[i]]+val[i]); //装的下就有装和不装两种选择
cout << f[m];
return 0;
}2 01背包应用题1——416. 分割等和子集
416. 分割等和子集
一开始看到题目，想用贪心——排序+双指针 每次都把当前相对小的放进小的sum中，写完之后发现过不了：[1,1,2,2]这样的样例。错误代码：
class Solution {
public:
/*
左边的sum 小于 右边的sum l++，左边的sum+=
左边的sum 大于 同理
如果等于左边前进
1,2,3,4, 5,6,7,8,9, 10
*/
bool canPartition(vector<int>& nums)
{
// 解法1:排序+双指针
if(nums.size() == 1)return 0;
sort(nums.begin(),nums.end());
int l = 0;
int r = nums.size() - 1;
int leftsum = 0;
int rightsum = 0;
while(l <= r)
{
if(leftsum <= rightsum)
{
leftsum += nums[l++];
}
else
{
rightsum += nums[r--];
}
}
cout << l << " " << r << endl;
cout << leftsum << " " << rightsum;
if(leftsum == rightsum)return 1;
else return 0;
}
};要明确本题中我们要使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。
回归主题：首先，本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。
那么来一一对应一下本题，看看背包问题如何来解决。
只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。
- 背包的体积为sum / 2
- 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
- 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
- 背包中每一个元素是不可重复放入。
具体分析过程见注释， AC代码：
class Solution {
public:
// 找到一个背包 能够装nums.total（所有物体重量总和）/2的东西
int dp[10005]; // 容积为i的背包 根据现有的物体重量情况最多能装的物体的重量
/*
转换成01背包问题：
假设有一个nums.total/2的背包
有若干个物体，每个物体的重量就是nums[i]
本题可以舍弃价值这个概念
就是问一个nums.total/2的背包最多能够装的物体的重量是多少 能不能达到nums.total/2
if(j < nums[i])dp[j] = dp[j];
else dp[j] = max(dp[j] , dp[j - nums[i]]+nums[i]);
dp[0] = 0;
其他默认是0
for物体i++ for容积j--
模拟——
*/
bool canPartition(vector<int>& nums)
{
dp[0] = 0;
int total = 0;
for(auto i : nums)total += i;
if(total % 2 == 0)total /= 2;
else return 0;
for(int i = 0; i < nums.size();i++)
{
for(int j = total ; j >= 0; j--)
{
if(j < nums[i])dp[j] = dp[j];
else dp[j] = max(dp[j] , dp[j - nums[i]]+nums[i]);
}
}
if(dp[total] == total)return 1;
else return 0;
}
};
