文章目录

一、摘要
二、介绍
三、Normal Patterns 正常模式
四、Meet-in-the-Middle Principle
- 4.1 MIM Patterns
- 4.2 MIM 的性质
- - 4.2.1 性质1
  - 4.2.2 性质2
  - 4.2.3 性质3
  - 4.2.4 性质4
五、Evaluation
六、Conclusions

论文来源：（2018）The Meet-in-the-Middle Principle for Cutting and Packing Problems
作者：Jean-François Côté 等人

一、摘要

切割和包装（C&P）是一个基本的研究领域，它模拟了大量的管理和工业优化问题。C&P问题的解决方案基本上由一组一维或多维物品组成，通过满足问题的约束条件和最小化给定的目标函数，从一个或多个仓中打包/切割。
正常模式是一种著名的C&P技术，用于建立解决方案，其中每个项目沿每个维度都与仓的底部对齐。它们被用于一些C&P技术中，因为它们可以减少搜索空间，同时保持最优性，但是它们的局限性在于，当物品的数量和仓的大小增加时，它们的数量会持续增长。
在本文中，我们提出了一套新的模式，称为meet in the middle，它保留了最优性并导致了一些有趣的结果。它们的计算与普通模式的时间复杂度相同，但它们的数量从未增加，在实际应用中经常显示出约50%的减少。
这些新模式被应用于改进一些精确的最先进的C&P技术，包括弧流公式、组合分支和约束算法以及混合整数线性程序。通过对一些相关应用的广泛计算测试，评估了改进后的技术的功效。

二、介绍

正常模式通过说明某些位置不能用来包装物品，有效地限制了等价解的数量，但它们有一个重要的限制：它们证明某个位置p不能被使用的功效只有在p值较小的情况下才是强大的。这是因为，如果存在物品宽度之和为p的组合，那么某个宽度p就是一个正态模式。在实践中，当项目的数量较多，仓位宽度W较大时，对于大于W/2的p值，正常模式的影响往往是不相关的。

文献中已经做了一些尝试来加强正常模式，通过设计新的模式集，可以进一步减少搜索空间的大小，同时仍然保持最优性。在本文中，我们继续这一研究方向，并提出一个在实践中被证明非常有效的想法。

它由一组新的模式组成，称为 “中间相遇”（MIM），通过将每个维度上的项目对准容器的底部或顶部而获得。具体来说，我们考虑到仓的第一个维度（宽度），沿着这个维度固定一个特定的阈值（例如，半仓宽度），强迫所有项目的左边界在阈值左边的项目要向左对齐，并强制其余项目向右对齐。然后对连续的维度重复这一过程。再考虑一下图1，假设两个维度的阈值分别固定为半仓宽度和半仓高度（图中虚线）。然后，通过使用MIM思想，方案（a）被转化为方案（c）。

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这个想法很简单，但它提供了有趣的结果。我们确实证明：

(1) 对最优的搜索可能被限制在每个项目都被包装在一个MIM模式中的解决方案
(2) MIM模式的数量永远不会高于正常模式的数量
(3) 在实践中，MIM模式比正常模式更有效，因为它们的数量经常更少，而且可以通过同样的计算努力获得。

因此，我们可以利用MIM原理将更多的问题解决到最优。我们还注意到，该原则不仅有助于减少正常模式，而且有助于减少文献中提出的其他形式的模式（事实上，我们的计算工作是建立在Boschetti等人2002年提出的模式之上的）。

我们采用的这个名字来自密码学（“中间相遇攻击”）。Horowitz和Sahni(1974)曾在C&P文献中使用过这个名字，以描述他们对二元结包问题的分支和约束算法。他们将有n个项目的输入项目集分成两个互斥的子集，每个子集有n/2个项目。他们列举了每个子集的部分解决方案，然后合并了的部分解决方案来建立一个最佳解决方案。他们算法的复杂度是 $O(2^{n/2})$ ，这是该问题已知的最佳复杂度。他们的方法与我们在这里提出的方法非常不同，因为它划分了项目集，而不是沿着每个维度划分容器的空间。

三、Normal Patterns 正常模式

Normal Patterns 是 Christofides 和 Whitlock 于 1977 年提出的。
该原理指出, 存在一个最佳解决方案, 其中每个项目都尽可能向下和向左移动, 因此, 在项目的左侧或底部都必须接触另一个项目或边界。更准确地说, 容器中的垂直和水平的 normal patterns 可以从集合中 $N^v(W)$ 和 $N^h(H)$ 提取, 其中, $N^v(w)$ 和 $N^h(h)$ 定义如下:

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四、Meet-in-the-Middle Principle

在第4.1节中，我们正式提出了MIM模式和计算它们所需的算法。第4.2节讨论了一些相关的属性，第4.3节描述了建立在MIM基础上的进一步减少技术。

4.1 MIM Patterns

对于每个项目 $i \in I$ 和阈值 $t∈\{1，2， . . ，W\}$ 的两类模式的组合。首先，左边的模式被计算为

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然后是右边的模式，如：

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在实践中，当一个物品的最低角的坐标x在t的左边（x≤t-1）时，它被包装在一个左边的模式中，反之则是一个右边的模式（x≥t）。请再次参考图1© 的图形例子。式(5)中的 "最小 "函数用于规定物品i在W - wi之后不被打包。还要注意的是，任何宽度为wi>W - t的大项目i都是左对齐的，因为当W - wi - t < 0时， $\mathscr{R}_{i t}=\varnothing$ ，项目i的MIM模式集就被简单地评估为：

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和总集为：

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通过运行算法2，可以在 $O (nW)$ 中得到每个 $M_{it}$ 集的计算结果。左边图案的计算是通过确定所有项目的宽度组合，不包括所选的项目i，其总宽度不超过t - 1和wi在bin中留下的剩余空间。对于右侧模式，我们首先计算标准的（左对齐的）正常模式集，其总宽度不超过残余空间（如果有的话），通过从容器宽度中减去获得wi和t（考虑到NormalPatterns在W - wi - t < 0时返回空集）。然后，我们通过将每个左对齐的模式p映射到右对齐的模式W - wi - p来获得Rit。

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4.2 MIM 的性质

对于MIM模式，可能会注意到一些有趣的属性。

4.2.1 性质1

通过只考虑所有项目都以MIM模式包装的解决方案来保持最优性。

该证明遵循了 Herz(1972) 和 Christofides 和Whitlock(1977) 的简单证明。

假设提供了一个通用项目集 $I^{'} \subseteq I$ 的可行包装。然后，选择一个项目 $i \in I^{'}$ ，如果有 MIM 模式，并对每个维度重复以下步骤:如果 i 的最低角在 t 的左边，则将 i 尽可能地向左移动，否则将其尽可能地向右移动。重复，直到所有项目都以MIM模式打包。本文如下，因为该过程适用于任何 $I^{'} \subseteq I$ 。

4.2.2 性质2

当 t = W 时，MIM Patterns 等于 Normal Patterns

所以，t所取的值可能对结果集 $M_t$ 的基数有很大的影响。因此，我们将MIM模式的最小集定义为

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4.2.3 性质3

MIM Patterns 的尺寸 <= Normal Patterns 的尺寸

最小集M的计算可以简单地通过对 t 的每个值调用算法2，并根据式(9) 存储最佳结果，从而使用 $O(n^2W^2)$ 的时间复杂度来获得。更好的实现方法减少了计算工作量，如下所示

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4.2.4 性质4

MIM模式的最小集M可以用时间复杂度 $O(n^2W)$ 计算。

证明是基于算法3，我们详细描述。我们首先计算所有正常模式 $\mathscr{B}_i$ ，并将它们相加，以确定具有值 $p$ 的左侧模式的数量和具有值 $W−w_i−p$ 的右侧模式的数量(步骤2-9)。数组 $T_{left}$ 和 $T_{right}$ 存储结果值。然后，在以下观察的基础上，使用相同的数组以增量方式计算模式的累积数量。

让我们考虑两个阈值 t1 和 t2 ，其中 t2 ≥ t1 +1。我们重写(5)式两次，首先用 t1 替换 t ，然后用 t2 替换 t 。然后，通过计算两个结果方程之间的差，我们得到

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换句话说，到 t2−1 的左侧模式可以通过将到 t1−1 的模式和区间 [t1, t2−1] 的模式相加来计算。通过使用从右到左的增量过程，同样的推理也适用于右边的模式。

回到算法3，左右模式的增量计算在步骤10-13中执行。然后，步骤14-20确定模式总数最小的阈值 $t_{min}$ ，步骤21-29构建结果MIM模式。

重要的一点是，MIM模式的最小集可以减少(4)中定义的规则正常模式集，并且可以用相同的算法复杂度进行计算。注意，当考虑(2)中的原始正常模式时，同样的备注也适用:由于性质3,MIM模式的结果数量不会超过正常模式的数量;

五、Evaluation

我们通过对我们讨论过的不同模式集的大小进行数值评估来结束本节。我们集中讨论三个著名的二维实例集的宽度，即Christofides和Whitlock(1977)的cgcut，以及Beasley (1985a, b)的gcut和ngcut，它们在OR-library由Beasley(1990)公开提供。

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