一、向量（Vector）
点乘（Dot Product）
- 定义：计算两个单位向量的夹角
- 用途：
- 描述两个向量是否足够接近
叉乘（Cross Product）
- 定义：用于判断法向量的防线，一般遵循右手螺旋定则，手指指向方向和叉乘向量的顺序相反
- 用途：
- 判断叉乘两个向量的左右方向，如a叉乘b与正交坐标系的y轴同向，则a在b的左边
- 判断点与三角形的位置关系（点P与三角形三个顶点连接的向量相乘，如果结果方向均一致，说明P在三角形内，反之则外）
二、变换（Transform）
- 变换都基于坐标轴原点来操作
- 图形图像的变化可以简化成矩阵加减/相乘的形式进行计算
- 线性变换（Linear Transform）：x` = Mx
1. 缩放（Scale）
- 相关矩阵：【对角矩阵】
- 矩阵表示：
2. 对称/反射（Reflection）
- 相关矩阵：【单位矩阵】
- 矩阵表示：
3. 切变（Shear）
- 定义：其中一个方向发生变化，另一方向保持不变
- 矩阵表示：
4. 旋转（Rotation）
- 相关矩阵：【推导矩阵R】
- 矩阵表示：
- 负角度旋转：
5. 齐次坐标（Homogeneous Coordinates）
- 用途：在图形学中用于统一所有的变换方式
6. 平移（Translation）
- 特点：无法仅通过简单的矩阵相乘获取到平移后的位置（因为平移的坐标只和其对应方向的坐标相关，比如x1 =x+Tx而不是 x1=ax+by）
- 解决方式：新增一个维度
- 矩阵表示：
-
通过仿射变换（Affine Map）表示：
-
通过齐次坐标（Homogeneous Coordinates）表示：
-
- 流程：先线性变换，再进行平移
- 新增维度0、1具体意义：
- 向量新增维度为0：因为向量平移具有不变性，因此矩阵相乘后不希望发生改变，所以设置为0
- 点新增维度为1：可以通过向量与点的相加减来下定义
7. 逆变换（Inverse Transform）
- 定义：和变换做相反的操作（如a->b，则逆变换为b->a）
8. 复合变换（Compose Transform）
- 定义：经过有限次的单个变换操作的总称
9. 分解变换（Decompose Transform）
- 定义：经过有限次的单个变换操作的总称
- 用途：用于对一个非原点的图形进行非平移变换
- 分解特点：先将图形平移回原点，然后经过一系列变换后，再平移回原来的位置
10. 视图变换（Viewing/Camera Transform）
- 定义：将3D物体转化到3D世界中的2D视图中
- 流程：
- 将物体放置于世界坐标系
- 调整相机的位置到原点
- 通过投影变换将3D物体映射并以2D形式表现出来
- 要点：相机、三维物体、投影后的二维平面
- 相机（Camera）
- 需要将相机由任一点移动到原点（0,0,0），对应的矩阵变换应该先平移后旋转
- 由相机所在轴（e,g,t）旋转为（x,y,z）麻烦，可以逆向思维从（x,y,z）旋转到相机所在轴（e,g,t）
- 投影变换（Projection Transform）
- 正交投影（Orthofraphic Projection）
- 性质：大小始终一致
- 流程：
- 将相机设置/移动到原点，看向z轴的负方向，向上为y轴
- 忽略掉z坐标轴，将得到一个只有x，y轴的2D图形
- 将2D图形的大小规范化为-1到1
- 物体：
- 平移物体中心到原点，然后进行缩放
- 矩阵计算如下（r为右、l为左、t为上、b为下、n为前/近、f为远/后）,左起第一个矩阵为缩放，第二个矩阵为平移
- 透视投影（Perspective Projection）
- 性质：近大远小、原平行线延长会相交
- 流程：
- 将透视投影的四棱锥通过“挤压”成长方体
- 将挤压后的长方体做正交投影
- 挤压
- 因为一个点同乘一个常数，点不变，因此y`=ny
- 近平面的点经过“挤压”后均不变
- 远平面的点经过“挤压”后，z方向值不变
- 推导透视投影矩阵
- 正交投影（Orthofraphic Projection）
