学习【高等数学（上）】6小时从0基础直追满绩！_哔哩哔哩_bilibili
高数基础
高等数学无非分为三个部分：极限、导数（微分）和积分——构成了微积分
高等数学学的就是 微积分，整体其实只是一个思想 + 一个公式（牛顿莱布尼茨公式）
抓住本质（推导圆的面积）
假设当前这样一个圆，我们都知道
- 圆的面积：
π * r^2 - 圆的周长：
π * 直径
我们知道了当前圆的周长，但是我们是怎么知道圆的面积的？！
方法一：切割成扇形
我们将一个圆形分割成多个扇形
我们取出一个小扇形看看
如果我们切割得足够细小的话，那么我们就可以近似看做为一个三角形的面积
这个面积太小了，我们也没有办法求，也不好求。
我们就可以将这个再次组装起来，但是不要组装成圆，而是按照这一个类型进行组装。
如果我们切割的扇形足够细，那么我们可以近似的认为这个图形为矩形。
- 宽近似于：R
- 长近似于：πR（因为是上下一半，因此并不是2 * π * r）
因此面积为：π * R ^ 2
我们拆解成小的，我们可以把握的元素——微分
方法二：拆分为圆环
我们将其拆分为小的圆环，如果我们拆分为n分，那么这个小的圆环的宽度就是
把其中的一个圆环拿出来，那应该怎么进行求解呢？
别拿圆的面积公式直接求，现在我们正在证明圆的面积计算公式
我们拆分出来，就可以得到一个小矩形
- 长度：圆环周长
- 宽度：R / n
汇总之后就可以得到下面的结果
- 最长的长度为：圆形的周长——2 * π * R
- 内部的长度为：半径R（所有的宽度拼接到一起）
圆形面积：2 π R * R * 1 / 2 = π * R *Ｒ
但是这里好像还是存在问题，这里我们在切扇形 还是 圆形的时候，切多少份合适呢？
如果我们切割的无限大，宽度在减小，误差也在减小
问题一：为什么不知道圆的面积公式，但是可以使用圆的周长公式呢？
这里主要是理解微积分的核心思想，使用的是重组面积的方法。
在重组过程中，半径和周长是不变的，因此可以使用（当然这里实际会有误差的）
看起来高等数学都在学微分和积分，那我们为什么要学极限的？
——因为这是他两的
基础啊！
问题二：x趋于0 和 x = 0有什么区别呢？
这是动静之间的差别，x趋于0可以一直在变小的量，是 动态 的，但是x = 0则是一个常量，是一个 静态 的量
（无穷小）极限可以用一句话表示：要多小有多小
如何求解极限
求极限可以简要分成三步：
第一步：代入
将自变量极限值代入极限表达式，如果不能得到结果，继续下一步；
第二步：分类
判断极限类型属于
中的哪一种，
重点是识别出式中的无穷小和无穷大成分
第三步：求解（化形、变形）
特别记住
- 无穷小 * 有界函数= 0
方法一：直接带入型（最简化）
求解
我们可以直接带入，可得
无穷小 * 有界函数= 0
求 的值
直接带入即可得到0
一个无穷小量乘以一个有界函数【-1,1】，结果必然还是一个无穷小量
求解反函数
求 的值
这里需要注意的是，无穷的方向。
若是正无穷，则是 π / 2
若是负无穷，则是 - π / 2
但是，若直接是无穷，则极限不存在
方法二：分类
该方法则专门用于处理 直接带入 无法处理的情况
其实这里主要是由于
无穷小量和无穷大量组成
无穷小
例题：
化简
我们发现上面的题目，我们带入值之后就是 0 / 0型，所以需要进行化简
-
第一题，当x --> 2 时，肯定我们可以化简出
x - 2这样的无穷小量；所以两个就可以直接拆解成（x-3）、 （x+2）的式子
在消除x-2之后，就可以再次带入求解了 -
第二题，必然要化简出
x - 1这样的式子；分母很自然的可以进行因式分解，但是第一个就需要借助分子有理化了
代换
主要是记住常用的无穷小的等价代换（只有无穷小才可以换~！）
这里拿
ln(cos x)进行举例，当x趋近于0时，式子当然也趋近于0 ；但是我们需要进行化简方便计算；
当x = 0时，cos x = 1，所以这里如果我们需要构造无穷小量就需要我们 -1 ——即ln(1 + (cos x - 1 ) )
因为ln(1 + x ) ~ x；所以 ~(cos x - 1)
因为 1 - cosx ~ x^2 / 2 ，所以 ~（-x^2 / 2）
补充一个题目：
这里不能直接想当然的用 cosx ~ x，因为这里无法进行下一步求解了。
而是需要我们进行构造
这里需要用到公式
所以可以换成
继续因为sinx ~ x可以换成
所以结果就是：
这里不是什么一眼看出来的，而是明白自己的目的——就是抓出无穷小量来（因为是0 / 0型）——看分母就明白了，无穷小量应该对应的是
x - 1
特别注意的是：不能用于加减法
绝对不能直接替换！！！
而是需要进行 拆解
无穷大
这里注意一下，对于第一题当然可以直接除去x的平方，但是对于下面的例题就需要除以x了（x属于不同范围）
因为这里的x是趋于0的，所以
只需要处理x即可
