1.常微分方程

常微分方程 (ODE) 包含与一个自变量 t（通常称为时间）相关的因变量 y 的一个或多个导数。此处用于表示 y 关于 t 的导数的表示法对于一阶导数为 y ′ ，对于二阶导数为 y ′′，依此类推。ODE 的阶数等于 y 在方程中出现的最高阶导数。

例如，这是一个二阶 ODE：

y ′′ = 9 y

在初始值问题中，从初始状态开始解算 ODE。利用初始条件 y 0 以及要在其中求得答案的时间段(t0,tf )，以迭代方式获取解。在每一步，求解器都对之前各步的结果应用一个特定算法。在第一个这样的时间步，初始条件将提供继续积分所需的必要信息。最终结果是，ODE 求解器返回一个时间步向量t = [ t 0 , t 1 , t 2 , ..., t f ] 以及在每一步对应的解 y = [y0 , y 1 , y 2 , ..., yf ]。

2.ODE 的类型

MATLAB 中的 ODE 求解器可解算以下类型的一阶 ODE：

• y ′ = f(t , y )形式的显式 ODE。

• M (t , y )y ′ = f (t , y )形式的线性隐式 ODE，其中 M t , y 为非奇异质量矩阵。该质量矩阵可以是时间或状态依赖的矩阵，也可以是常量矩阵。线性隐式 ODE 涉及在质量矩阵中编码的一阶 y 导数的线性组合。

线性隐式 ODE 可随时变换为显式形式 y′ = $M^{-1}(t,y)f(t,y)$ 。不过，将质量矩阵直接指定给 ODE 求解器可避免这种既不方便还可能带来大量计算开销的变换操作。

• 如果 y′ 的某些分量缺失，则这些方程称为微分代数方程或 DAE，并且 DAE 方程组会包含一些代数变量。代数变量是导数未出现在方程中的因变量。可通过对方程求导来将 DAE 方程组重写为等效的一阶ODE 方程组，以消除代数变量。将 DAE 重写为 ODE 所需的求导次数称为微分指数。 ode15s 和ode23t 求解器可解算微分指数为 1 的 DAE。

• f( t , y , y ′ )= 0 形式的完全隐式 ODE。完全隐式 ODE 不能重写为显式形式，还可能包含一些代数变量。ode15i 求解器专为完全隐式问题（包括微分指数为 1 的 DAE）而设计。

可通过使用 odeset 函数创建 options 结构体，来针对某些类型的问题为求解器提供附加信息。

3.ODE 方程组

您可以指定需要解算的任意数量的 ODE 耦合方程，原则上，方程的数量仅受计算机可用内存的限制。如果方程组包含 n 个方程，

则用于编写该方程组代码的函数将返回一个向量，其中包含 n 个元素，对应于 y ′ 1 , y ′ 2 , … , y ′ n 值。例如，考虑以下包含两个方程的方程组

用于编写该方程组代码的函数为

function dy = myODE(t,y)
dy(1) = y(2);
dy(2) = y(1)*y(2)-2;
end

4.高阶 ODE

MATLAB ODE 求解器仅可解算一阶方程。您必须使用常规代换法，将高阶 ODE 重写为等效的一阶方程组

y 1 = y

y 2 = y ′

y 3 = y ′′

⋮

y n = $y^{n-1}$ .

这些代换将生成一个包含 n 个一阶方程的方程组

例如，考虑三阶 ODE ：y′′′ − y′′y + 1 = 0，并使用代换法

y 1 = y

y 2 = y ′

y 3 = y ′′

生成等效的一阶方程组

此方程组的代码则为

function dydt = f(t,y)
 dydt(1) = y(2);
 dydt(2) = y(3);
 dydt(3) = y(1)*y(3)-1;
end

5.复数 ODE

考虑复数 ODE 方程

y ′ = f (t , y ) ,

其中 y = y 1 + iy 2。为解算该方程，需要将实部和虚部分解为不同的解分量，最后重新组合相应的结果。从概念上讲，这类似于

例如，如果 ODE 为 y ′ = yt + 2 i ，则可以使用函数文件来表示该方程：

function f = complexf(t,y)
f = y.*t + 2*i;
end

然后，分解实部和虚部的代码为

function fv = imaginaryODE(t,yv)
% Construct y from the real and imaginary components
y = yv(1) + i*yv(2);
% Evaluate the function
yp = complexf(t,y);
% Return real and imaginary in separate components
fv = [real(yp); imag(yp)];
end

在运行求解器以获取解时，初始条件 y0 也会分解为实部和虚部，以提供每个解分量的初始条件。

y0 = 1+i;
yv0 = [real(y0); imag(y0)];
tspan = [0 2];
[t,yv] = ode45(@imaginaryODE, tspan, yv0);

获得解后，将实部和虚部分量组合到一起可获得最终结果。

y = yv(:,1) + i*yv(:,2);

6.基本求解器选择

ode45 适用于大多数 ODE 问题，一般情况下应作为您的首选求解器。但对于精度要求更宽松或更严格的问题而言， ode23 、 ode78 、 ode89 和 ode113 可能比 ode45 更加高效。

一些 ODE 问题具有较高的计算刚度或难度。术语“刚度”无法精确定义，但一般而言，当问题的某个位置存在标度差异时，就会出现刚度。例如，如果 ODE 包含的两个解分量在时间标度上差异极大，则该方程可能是刚性方程。如果非刚性求解器（例如 ode45）无法解算某个问题或解算速度极慢，则可以将该问题视为刚性问题。如果您观察到非刚性求解器的速度很慢，请尝试改用 ode15s 等刚性求解器。在使用刚性求解器时，可以通过提供 Jacobian 矩阵或其稀疏模式来提高可靠性和效率。

下表提供了关于何时使用每种不同求解器的一般指导原则。