微积分进阶 1.1 函数

news2025/1/12 22:52:12

一、函数的概念

在观察自然现象或工程实际问题时，我们经常发现有几个变量在变化，这些变量之间并不是彼此孤立的，而是相互制约的，这些变量是怎么变化的呢？它们之间有什么联系呢？存什么规律呢？怎样找到这些规律？从而达到被人们了解，掌握规律的目的呢？

这正是高等数学所要研究和解决的问题.现在我们主要讨论两个变量的情况.

（sc中可以用返回值积木）

二、函数的定义

设有两个变量x和y，D为一非空实数集.如果对于D中的每一个确定的x，按照某种对应法则f，都有唯一确定的y与之对应，则称y是定义在集合D中关于x的函数，记作

y=f(x)

，其中集合D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量，f称为对应法则.

如果对于自变量的某个确定值X0，因变量y对应的值就称为函数在X0处的函数值，也称该函数在X0处有定义.记作

y∣x=x0,f(x0)或f(x0)∣x=x0

当x取遍定义域D中每个数值时，对应的所有函数值（全体）组成的数集

W={y∣y=f(x),x属于数集D}

W就称为函数的值域.

通常求函数定义域应注意：分式函数分母不为零，偶次根式被开方式大于等于零，对数函数真数大于零，等等.

三、邻域

满足不等式

∣x−x0∣＞δ(δ为大于0的常数)

的一切x称为点x0的δ邻域，记作

U(x0,δ)=x0−δ<x<x0+δ

四、函数的性质

（1）设函数f(x)定义域关于原点对称,如果对于定义域中的任何f(x),都有f(x)=f(-x)，那么称f(x)为偶函数.如果有f(x)=-f(-x)，那么称f(x)为奇函数.

（2）设函数f(x)定义域为(+∞，-∞),若存在正数T，使得对于定义域中的任何f(x),都有f(x)=f(x+T),则称该函数为周期函数，T称为f(x)的周期.

（3）若函数f(x)在区间(a,b)随着x的增加而增加，即当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2),就称该函数在区间(a,b)里单调增加.反之，若函数f(x)在区间(a,b)随着x的增加而减小，即当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2),就称该函数在区间(a,b)里单调递减.

（4）若函数f(x)，对于在区间I内的所有x，存在与x无关的常数M,使任意|f(x)|≤M，则称该函数在区间I内有界，否则，就称该函数在区间I内无界。一般地，如果一个函数在其整个定义域内有界，则称为有界函数.

五、反函数

一般来说，设函数y=f(x)(x∈（∈表示属于）（集合）A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y) 。反函数x=f -1(y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数.

一般地，如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应，y=f(x)，则y=f(x)的反函数为x=f-1(y)。存在反函数（默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）.

注意：上标"−1"指的是函数幂，但不是指数幂。