一、概念

定义：随机变量X服从一个数学期望$\mu$、方差为$\sigma$的高斯分布，又名正态分布。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
高斯分布概率密度函数（正态随机变量概率密度函数）：
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2})$$

下图为高斯密度函数的函数曲线：

概率密度函数：y=f(x)，x 是样本特性自变量，y 是 x 在这个样本特性上的数量比例。
exp：exp 指的是自然常数 e 的幂函数，即 e 的多少次幂的概念（e 是一个无理数，也就是无限不循环小数，e≈2.71828…）。比如
$$exp(3)=e^3$$
这个函数的峰值在$x=\mu$的位置，此时对应的函数值 y 为:$\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$。

这里样本数量的计算用的是定积分的定义，即整个函数曲线在其下方围住的与 y=0（x 轴）所围成的面积占比。它在 $x=\mu$ 左右两侧的函数是对称的：

• x 在 μ-σ 和 μ+σ 之间的样本数量占到整个样本数量的 68.2%；
• x 在 μ-2σ 和 μ+2σ 之间的样本数量占到整个样本数量的 95.4%；
• x 在 μ-3σ 和 μ+3σ 之间的样本数量占到整个样本数量的99.6%；

二、详解和例子说明

高斯分布作为分布特性的一种，首先是用来描述统计对象的，如果统计对象的分布特性符合高斯分布，那么所有针对高斯分布的定理和“经验值”就能够直接套用。而高斯分布本身在自然界的应用是非常广泛的，用一句话解释高斯分布所表现的分布特点就是“一般般的很多，极端的很少”。

这里举一个具体的例子，假如对某一地区的男性身高做了一个随机抽样，一共 1000 人，结果发现他们的身高是一个 μ=175cm 的高斯分布，σ=10cm。那么首先，这样一个描述就已经能够清晰地说明这个抽样检查的结果了，而以下结论也就随之成立（如下曲线图）。

• 身高 165~175cm 的人（大约）有 341 名。
• 身高 175~185cm 的人（大约）有 341 名。
• 身高 155~165cm 的人（大约）有 136 名。
• 身高 185~195cm 的人（大约）有 136 名。
• 身高 145~155cm 的人（大约）有 21 名。
• 身高 195~205cm 的人（大约）有 21 名。

这些数量基本已经涵盖了统计总人数的 99.6 %。需要注意的是，根据统计的情况在不同的条件下 μ 和 σ 的值可能会不同：

• μ 较大，则整个函数图像的中轴向右挪动比较多。
• μ 较小，则函数图像的中轴向左挪动比较多。
• σ 较大，则整个曲线绵延比较长，整个坡度显得平缓。
• σ 较小，整个曲线窄而立陡。

符合高斯分布的其它例子：
智商分布：智慧一般的人很多，非常聪明的人较少，非常愚笨的人也较少（在一些大公司或者重点学校里虽然整体的聪明程度提高，但是还是存在这个小范围内的高斯分布，即 μ 比较偏右，而 σ 比较小）
收入分布：全社会范围内的收入，中档次收入的人比较多，特别贫穷和特别富裕的人较少，但是他们在地域上的分布和职业类别上的分布可能就不那么均匀了。

三、判断数据是否服从高斯分布

1、看直方图！ 是不是看起来像钟形？
2、计算描述性汇总度量 - 平均值，中位数和模式是否相似？
3、2/3的观察值是否位于平均值的±标准差1内？ 95％的观察值是否在平均值的±2标准差范围内？

四、高斯分布实际应用

首先刚才说过，如果在统计过程中发现一个样本呈现高斯分布的特性，只需要把样本总数量、μ 和 σ 表述出来，就已经能够形成一个完整的画面感了。这对人们描述对象是有很大帮助的。还有一个好处，就是我们发现了这样一个特性以后，在生产制造、商业等领域会有很多对应性的用法能够减少不必要的投入或损失。

例如，在设计一款服装后，S/M/L/XL 这些号码怎么设计比较合理呢？设计完了制造多少较合理呢？这时就可以在抽样后在高斯分布曲线上找到这些合适的点。既然 μ-σ 和 μ+σ 之间已经占 68.2%了，那么如果没有足够的预算或者精力，可以只先尝试做一个以 μ 为标准的板式，针对一部分人打板做市场推广。因为再做 μ-σ 和 μ+σ 这两个如此不同的板式，打板成本将会再提高 2 倍，但是增益仅有不到 50%（这从概率密度函数上就可以看出来）。这其实就是一种针对市场迎合的分析和尝试，即优先做那些受众情况最一般、人数最集中的部分。