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题目大意

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6097

有一个圆C，它的圆心是O(0,0), 半径是r。
在C内部或边界上有两点P和Q，OP=OQ。
求解圆C上一点D，使得PD+QD最小。图中红色相加最短。

错解

直觉上感觉D是PQ中垂线与圆的交点。
这个直觉是错误的。

一个特殊例子，当PQ是直径时，显然D点是P或Q时取得最值。

利用圆的反演及相似三角形转化圆外点问题

反演定义：有一个圆C以O为圆心半径为r，那么任意点P对于圆C的反演点P'存在于射线OP方向上，且OP' = r*r/OP

寻找相似三角形

图中P’是P关于圆O的反演点。
$则存在圆上1点D使得△P^{\prime }DO\sim △DPO相似比为\frac{r}{OP}$

证明也很简单：
根据已知条件，P’是P的反演点可得到
OP’ = r*r/OP => OP’/r=r/OP = OD/OP
根据两边之比相等且夹角相等，可以得到上述相似三角形的结论。

问题转化

根据上述结论，Q’D/DQ=P’D/DP=r/OP(已知量)
得到 $\frac{Q^{\prime }D+P^{\prime }D}{DQ+DP}=\frac{r}{OP}$
那么想要 DQ+DP 最小只要保证Q’D+P’D最小即可，问题就转化成求Q’D+P’D的最小值。

问题求解

对Q’和P’作边线可以发现下述两种情况。

相交

当与圆相交时，最短就是两点的连线，那么D就是圆上与连线的交点。

相离

直觉D点是Q’P’中垂线与圆的交点。
证明如下：
假设Q’P’平等于Y轴，引入辅助线l平行于Q’P’与圆相切。

设向量P’D=(x,-y), Q’D = (x,y), 引入变量y*表示D在直线l上移动。

$距离之和可以表示为关于y\ast 的函数f(y\ast )=\sqrt{x^2+(-y+y\ast {)}^2}+\sqrt{x^2+(y+y\ast {)}^2}$

对f(y*)求导等于0

$f^{\prime }(y\ast )=\frac{-y+y\ast }{\sqrt{x^2+(-y+y\ast {)}^2}}+\frac{y+y\ast }{\sqrt{x^2+(y+y\ast {)}^2}}$
当y*=0时，f’(y*)=0。
在圆上移动会比直线上更远。
上述结论得证。

如何求P’D+Q’D。
设P’Q’中点为M, 则DM = OM-r。
根据勾股定理可求得P’D。

代码实现

#include<stdio.h>
#include<cmath>

class Point {
public:
	double x, y;

	Point() {}
	Point(double a, double b) :x(a), y(b) {}

	void in() {
		scanf(" %lf %lf", &x, &y);
	}

	double dis() {
		return sqrt(x * x + y * y);
	}

	void operator -=(Point& p) {
		x -= p.x;
		y -= p.y;
	}

	void operator +=(Point& p) {
		x += p.x;
		y += p.y;
	}
	void operator *=(double d) {
		x *= d;
		y *= d;
	}

	void operator /=(double d) {
		this ->operator*= (1 / d);
	}
};



class Circle
{
public:
	Point center;
	double r;
	
	Circle(Point &c, double a):center(c), r(a){}
	Circle();
	void in() {
		center.in();
		scanf("%lf", &r);
	}

};

Circle::Circle()
{
}


void solve() {
	Point P, Q, P1, Q1, M;
	int T;
	Circle c;

	scanf("%d", &T);

	while (T--) {
		scanf("%lf", &c.r);
		c.center = Point(0, 0);
		int a, b;
		scanf("%d %d", &a, &b);
		P.x = a;
		P.y = b;

		scanf("%d %d", &a, &b);
		Q.x = a;
		Q.y = b;
		if (P.dis() < 1e-6) {
			printf("%8f\n", 2*c.r);
			continue;
		}

		// 求反演点
		double k = c.r * c.r / P.dis() / P.dis();
		P1 = P;
		P1 *= k;
		Q1 = Q;
		Q1 *= k;

		// 计算中点
		M = P1;
		M += Q1;
		M /= 2;
		P1 -= Q1;
		double d = P1.dis();
		// 判断相离情况
		if (M.dis() > c.r) {
			double md = M.dis() - c.r;
			Q1 = Point(md, d/2);
			d = Q1.dis() * 2;
		}

		d *= P.dis() / c.r;
		printf("%.8f\n", d);
	}
}

int main() {
	solve();
	return 0;
}

/*
4
4
4 0
0 4
4
0 3
3 0
4
0 2
2 0
4
0 1
1 0

*/

---

本人码农，希望通过自己的分享，让大家更容易学懂计算机知识。