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引言

在微分方程，尤其是一阶线性微分方程的求解过程中，经常出现求 $\int \frac{1}{x}dx$ 等原函数需要加绝对值的不定积分。如果放在不定积分里，肯定毫不犹豫会加上绝对值，也就是 $\int \frac{1}{x}dx=ln|x|+C$ 。但是在微分方程中似乎有时候就不用加，或者老师明确说了不用考虑，参考书以及习题答案有时候也直接把绝对值去掉了。

另外，关于不定积分出来的常数 $C$ ，有些书上能直接写成 $C$ ，而有些书上却要先写成 $e^C$ 之类的，最后再化为 $C$ 。

对于一些较真、学得细致的同学，可能会造成一定困扰，今天就用两个例子一起来讨论讨论这些小问题。

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例子 1

【例】 微分方程 $y{y}^{\prime \prime }+2(y^{\prime }{)}^2=0$ 满足初始条件 $y(0)=1,y^{\prime }(0)=-1$ 的特解是_____？

解： 首先判断出来，这是一个可降阶的二阶微分方程，然后缺少 $x$ ，于是我们可以设 $y^{\prime }=p(y)$ ，则有 $y^{\prime \prime }=pdp/dy$ ，代入原方程得：$$yp\frac{dp}{dy}+2p^2=0$$ 当 $y=0$ 时，代入原方程得 $p=y^{\prime }=0$ ，不符合初始条件，因此 $y,p\ne 0$ 。等式两边同时除以 $y$ ，得：$$y\frac{dp}{dy}+2p=0$$ 分离变量得 $dp/p+2dy/y=0$ ，积分得 $ln|p|+2ln|y|=C_1$ ，这里有一些书上会将右边写成 $ln|C_1|$ ，其实是为了方便最后消掉 $ln$ 。我们可以两种方法都试一下。

先试一试正常右边写成 $C_1$ 的，之后同时以 $e$ 为底取指数，得 $e^{ln(|p|y^2)}=e^{C_1}$ ，即 $|p|y^2=e^{C_1}$ ，取绝对值加上正负号 $p=\pm \frac{e^{C_1}}{y^2}$ ，令 $C_2=\pm e^{C_1}$ 可得 $p=\frac{C_2}{y^2}$ 。

如果直接令 $C_2=e^{C_1}$ 的话，由于 $e^{C_1}$ 恒大于等于 0 ，$C_2$ 就不能叫任意常数了。有这个疑虑的同学，主要是因为没有讨论绝对值，因为有了 $\pm$ 号，使得 $C_2$ 也可以取负数。

再来看看如果写成 $ln|C_1|$ 的吧，同样以 $e$ 为底，得 $e^{ln(|p|y^2)}=C_1$ ，即 $|p|y^2=C_1$ ，取绝对值得 $p=\pm \frac{C_1}{y^2}$ ，令 $C_2=\pm C_1$ 可得 $p=\frac{C_2}{y^2}$ 。

两种最后得到的结果肯定是一样的，但是第二种可以避免因直接去掉绝对值，产生是不是不能令 $C_2=e^{C_1}$ 的困扰，但如果考虑了绝对值，就不会有这样的疑惑了。

通过本题，我们也发现了，去不去绝对值答案都一样，而且咱们书上做的题基本上都可以直接去掉绝对值的，那为什么还要讨论这个呢？

我们请往后看第 2 个例子。

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例子 2

【例】 求微分方程 $$\frac{dy}{dx}-\frac{y}{2x}=x$$ 的通解。

解： 首先判断出这是一个一阶非齐次微分方程，直接上公式：

如果直接不管这个绝对值，有如下结果：

但实际上，如果分情况讨论，最后的结果应该是下面这样：

也就是，这个根号里面，肯定要保证是非负的，也正是因为根号的限制，去不去绝对值的结果才不一样。

可能有些同学看到这里会对自己产生一些怀疑和疑惑，请继续往后看总结。

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总结

首先，本文一个重要的参考文献是一个学长的视频，传送门。

视频当中有更为详细的讲解，不过后部分的内容感觉离考研有些远了。

前部分视频里总结了哪些需要加，哪些可以不加，我感觉这些记忆起来更混乱，还不如就每次都加。这也是我想说的观点：想拿高分，就严谨地去讨论，没什么好投机取巧的。

另外要补充的一个理解就是，微分方程的通解，并不一定能包含所有解，通解的定义只是包含了若干个相互独立的常数，也有一篇学术论文是讨论过这个的，传送门。