又一个奇技淫巧。

【例1】

$${\int }_0^{1}dy{\int }_{\sqrt{y}}^1\sqrt{x^3+1}dx=?$$

解析：

不说话，看下图：

$$\begin{gathered} {\int }_0^{1}dy{\int }_{\sqrt{y}}^1\sqrt{x^3+1}dx= \\ {\int }_0^{1}dx{\int }_0^{x^2}\sqrt{x^3+1}dy= \\ {\int }_0^1{x}^2\sqrt{x^3+1}dx= \\ \frac{1}{3}{\int }_0^1\sqrt{x^3+1}d(x^3+1)= \\ \frac{1}{3}{\int }_0^1\frac{2}{3}d(x^3+1{)}^{\frac{3}{2}}= \\ \frac{2}{9}(x^3+1{)}^{\frac{3}{2}}{|}_0^1= \\ \frac{2}{9}(2\sqrt{2}-1) \end{gathered}$$

【例2】

$$f(x)={\int }_0^x\frac{cost}{2t-3\pi }dt，求f(x)在[0,\frac{3\pi }{2}]上的平均值\bar{f}(x)$$

答案截图：

思路：题目是关于t和x的二重积分，t和x我们用的少，不太容易理解它们的转化。我们将t代换为x，x代换为y，这样看起来就比较熟悉了。

由上图可见，原式可化为：

$$\begin{gathered} \frac{2}{3\pi }{\int }_0^{\frac{3\pi }{2}}\frac{cost}{2t-3\pi }dx{\int }_x^{\frac{3\pi }{2}}dt= \\ -\frac{1}{2}\frac{2}{3\pi }{\int }_0^{\frac{3\pi }{2}}costdx=1/3\pi \end{gathered}$$

总结：

1. 二重积分交换积分次序要结合图形，这样比较简单方便，凭空想象是比较困难的。
2. 二重积分如果两个未知数之间不是独立的，而是有一定的函数关系，此时，直接交换积分式时要小心。而假如两个未知数之间是独立的，那么两个积分可以任意组合，相当于两个单次积分之积。