线性筛选素数

问题

求取范围[2,n] 之间的所有素数

方法一

方法一概述

使用数字prime[i]来标记i是否为素数。初始化prime[2…n]=1。
当处理到数字i时，若prime[i]=0，则代表2到i-1中有i的因子，因此i为合数；若prime[i]=1，则代表2到i-1中无i的因子，因此i为素数，此时筛选掉ij(2<=j<=n/i)，从而筛选掉以素数i为因子的合数ij。

方法一实现

#define SIZE 1000000

int main()
{
    int check[SIZE] = {0};//元素值为0代表是素数
    int prime[SIZE] = {0};
    int pos=0;
    int flag;
    for (int i = 2 ; i < SIZE ; i++)
    {
        if (!check[i])//如果是素数
            prime[pos++] = i;

        for (int j = 2*i ; j < SIZE ; j += i)
        {
            check[j] = 1;
        }
    }
    printf("%.2f", (double)clock()/CLOCKS_PER_SEC);

    return 0;
}

方法一问题

时间复杂度为$O(n^2)$，存在重复筛选的问题。对于6=2*3，会在i为2和3时被筛选掉。

方法二——线性筛法

方法二概述

目标:对于$m=p_i^a\ast p_j^b\ast ...p_k^c$，其中$p_i<p_j<...p_k$，为了避免重复筛选，仅使用$p_i$来筛选数$m$，称$p_i$为最小素因子。
策略:
使用prime数组来记录当前所得到的素数，使用is_prime[i]来标记数i是否被筛选。
对于当前数m，若其没有被筛选，则将其加入prime数组中。无论m是否为素数，遍历prime数组，来筛选掉以$prime[i]$为最小素因子且等于$m\ast prime[i]$的合数，为了确保$m\ast prime[i]$是以prime[i]为最小合数的，因此若出现$prime[i]|m$(即m中含有素因子$prime[i]$)，将不在考虑使用$m\ast prime[j](j>i)$来进行后续的筛选（因为此时的最小素因子为m的最小素因子$prime[i]$而非$prime[j]$）。
覆盖性证明:
上述策略保证了使用最小素因子$prime[i]$来进行筛选，并通过prime[i]|m来避免了重复的筛选，即满足了一个数仅筛选一次的目标。
对于筛选的范围能否覆盖$[\mathrm{1...}n]$中的所有数，由于m是从1到n遍历的，因此会考虑到所有$m\ast prime[i](m=\mathrm{1...}n)$的情况（当$prime[i]>m_{min}$时不予筛选，$m_{min}$代表m的最小素因子，因为这不满足$prime[i]$为$m\ast prime[i]$为最小素因子的定义），因此所有以prime[i]为最小素因子的合数都会被筛选掉。
操作过程示例:

方法二实现

#include<iostream>
using namespace std;
#define NUM 20
void get_prime() {
	int is_prime[NUM] = { 0 };
	int prime[NUM];
	int prime_num = 0;
	for (int m = 2; m < NUM; m++) {
		//数m没有被筛选过
		if (!is_prime[m]) {
			prime[prime_num++] = m;
		}
		//筛选掉以prime[i]为最小素因子的合数m*prime[i]
		for (int i = 0; i < prime_num; i++) {
			if(m*prime[i]<NUM) is_prime[m * prime[i]] = 1;
			if (m % prime[i] == 0) break;//m*prime[j](j>i)的最小素因子为m的最小素因子prime[i]而非prime[j]，因此跳出循环
		}
	}
	//打印输出
	for (int i = 0; i < prime_num; i++) {
		cout << prime[i] << " ";
	}
	cout << endl;
}
int main() {
	get_prime();
}