1. 整数拆分

343. 整数拆分-中等
讲解

动规

思路：拆分一个数 n 使之乘积最大，那么一定是拆分m个成近似相同的子数相乘才是最大的。

动规五部曲;

①确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]的定义为：拆分数字i得到的最大乘积为dp[i]
②确定递推公式
状态转移方程 dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
③dp数组如何初始化
dp[0] = 0（无意义），dp[1] = 0（无意义）， dp[2] = 1;
④确定遍历顺序
dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。

var integerBreak = function(n) {
    let dp = new Array(n + 1).fill(0);
    dp[2] = 1;
    for(let i = 3; i <= n; i++) {
        for(let j = 1; j <= i / 2; j++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i], j * (i - j), j * dp[i - j]);
        }
    }
    return dp[n];
};

时间复杂度：O(n^2)
空间复杂度：O(n)

贪心

思路：每次拆成n个3，如果剩下是4，则保留4，然后相乘（该结论需要数学证明其合理性）。

var integerBreak = function(n) {
    if(n === 2) return 1;
    if(n === 3) return 2;
    if(n === 4) return 4;

    let res = 1;
    while(n > 4) {
        res *= 3;
        n -= 3;
    }
    res *= n;
    return res;
};

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

2. 不同的二叉搜索树

96. 不同的二叉搜索树-中等
讲解

思路：列出n为1、2、3时的二叉搜索树，可以发现，n为3时的二叉搜索树的子树结构与n为1和2时的结构一样，也就是dp[3]会利用到dp[2]和dp[1]。

动规五部曲;

①确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]的定义为：以1到i为节点组成的二叉搜索树的个数
②确定递推公式
状态转移方程 dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]; ，其中 j -1 为j为头结点左子树节点数量，i - j 为以j为头结点右子树节点数量。
③dp数组如何初始化
dp[0] =1
④确定遍历顺序
节点数为i的状态是依靠 i 之前节点数的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历。

var numTrees = function(n) {
    let dp = new Array(n + 1).fill(0);
    dp[0] = 1;
    for(let i = 1; i <= n; i++) {
        for(let j = 1; j <= i; j++) {
            dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
        }
    }
    return dp[n];
};

时间复杂度：O(n^2)
空间复杂度：O(n)

3.