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引言

承接前文，在事件的独立之后，我们开始学习全概率公式、贝叶斯公式以及概型。

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六、全概率公式与贝叶斯公式

定义—— 完备事件组：设随机试验 $E$ 的样本空间为 $\Omega$ ，$A_1,A_2,\dots ,A_n$ 为一组随机事件，若满足：

1. 事件组 $A_1,A_2,...,A_n$ 两两互斥；
2. ${\bigcup }_{i=1}^n{A}_i=\Omega ,$

称事件组 $A_1,A_2,\dots ,A_n$ 为一个完备事件组。

举个例子，比如，从 $1,2,3,4$ 中取一个数，记 $A_i$ 表示取到的数为 $i$ ，则 $A_1,A_2,A_3,A_4$ 就是一个完备事件组。取到 1 不可能取到 2 ，四种情况加起来就是所有的可能。

6.1 全概率公式

设 $A_1,A_2,\dots ,A_n$ 为一个完备事件组，$B$ 为任意事件，则有：$$P(B)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i).$$ 证明： $B=\Omega B=(A_1+A_2+\cdots +A_n)B=A_{1}B+A_{2}B+\dots A_{n}B$ ，由完备事件组定义，易得 $A_{1}B,A_{2}B,\dots ,A_{n}B$ 也是互斥的。故 $P(B)=P(A_{1}B)+P(A_{2}B)+\dots P(A_{n}B).$ 再根据乘法公式，即可得到命题结论。

6.2 贝叶斯公式

设 $A_1,A_2,\dots ,A_n$ 为一个完备事件组，$B$ 为任意事件，$P(B)>0$ 则有：$$P(A_i|B)=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)},1\le i\le n.$$

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七、三大概型

7.1 古典概型

若随机试验 $E$ 满足如下两个条件：

1. 样本空间 $\Omega$ 中只有有限个样本点；
2. 样本空间 $\Omega$ 中每个样本点发生都是等可能的，

这样的随机试验称为古典概型。比如投骰子的试验。

设随机试验 $E$ 所对应的样本空间为 $\Omega$ ，其所含样本点总数为 $n$ 个，随机事件 $A$ 所含的样本点个数为 $k$ （或有利于事件 $A$ 的样本点数为 $k$ ），则事件 $A$ 的概率为 $P(A)=k/n.$

7.2 几何概型

设随机试验 $E$ 所对应的样本空间 $\Omega$ 为可度量的有界区域，若样本点等可能出现（或样本点出现 $\Omega$ 的可度量的子区域上的概率与该区域的几何度量成正比），则称随机试验 $E$ 所对应的概率类型为几何概型。

设 $A$ 为样本空间 $\Omega$ 可度量的子区域，则事件 $A$ 的概率为 $$P(A)=\frac{A的度量}{\Omega 的总度量}.$$

度量可以这么理解，在一维空间是长度，二维是面积，三维是体积。

7.3 伯努利概型

设随机试验 $E$ ，若其满足：

1. 相同条件下试验可重复进行；
2. 每次试验只有两种可能的结果 $A$ 与 $\overline{A};$
3. 每次试验 $A$ 与 $\overline{A}$ 发生的概率不变，

这样的试验重复 $n$ 次，称其为 $n$ 重伯努利试验。

设事件 $A$ 出现的概率 $P(A)=p$ ，令 $A_k$ 表示 $n$ 次试验中事件 $A$ 出现 $k$ 次，则 $$P(A_k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,\dots ,n.$$