123.买卖股票的最佳时机III  

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

i：天数

0、1、3、4：状态

dp[i][0]: 不操作

dp[i][1]: 第一次持有（可能延续之前买入的状态）

dp[i][2]: 第一次不持有（可能延续之前卖出的状态）

dp[i][3]: 第二次持有

dp[i][4]: 第二次不持有

2. 确定递推公式

dp[i][0] = dp[i-1][0] （不操作只能由前一天推导而来）

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dp[i-1][1]（延续前一天持有）

dp[i-1][0]-price[i]（前一天不持有,在第i天买入）

dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]-price[i])手头最大现金

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dp[i-1][2]（延续前一天不持有）

dp[i-1][1]+price[i]（前一天持有,在第i天卖出）

dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i-1][1]+price[i]);

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dp[i-1][3] (延续前一天第二次持有）

dp[i-1][2] - price[i] （第i天进行买入，第二次买入，前一天的状态一定是第一次卖出的（不持有的）状态）

dp[i][3] = max(dp[i-1][3], dp[i-1][2] - price[i] )

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dp[i-1][4] （延续前一天第二次不持有）

dp[i-1][3] + price[i]（前一天的状态一定是第二次持有，才能第二次卖出）

dp[1][4] = max(dp[i-1][4], dp[i-1][3] + price[i])

3. dp数组如何初始化

dp[0][0] = 0;

dp[0][1] = -price[0];

dp[0][2] = 0; // 第一天买入又卖出，手上现金为0

dp[0][3] = -price[0]; // 第一天买入又卖出又买入

dp[0][3] = 0; // 第一天买入又卖出又买入又卖出

4. 确定遍历顺序

i是由i-1推导而来的，从小到大遍历

for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {

结果：卖出一定比买入手头现金多 dp[i][2] dp[i][4] 

max(dp[prices.size()-1][2] dp[prices.size()-1][4])

第二次卖出包含第一次卖出的值：

return dp[prices.size() - 1][4];

5. 举例推导dp数组

// 版本一
class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        if (prices.size() == 0) return 0;
        vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(5, 0));
        dp[0][1] = -prices[0];
        dp[0][3] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0];
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
            dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
            dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
        }
        return dp[prices.size() - 1][4];
    }
};