[NOIP2008 提高组] 传纸条——DP+优化

news2024/11/23 10:55:26

传纸条——DP+优化

  • [NOIP2008 提高组] 传纸条
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    • 四维DP(不推荐)
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在这里插入图片描述

[NOIP2008 提高组] 传纸条

题目描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学,他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中,班上同学安排坐成一个 m m m n n n 列的矩阵,而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端,因此,他们就无法直接交谈了。幸运的是,他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里,小渊坐在矩阵的左上角,坐标 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1),小轩坐在矩阵的右下角,坐标 ( m , n ) (m,n) (m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递,从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中,小渊希望给小轩传递一张纸条,同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递,但只会帮他们一次,也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙,那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意,全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低(注意:小渊和小轩的好心程度没有定义,输入时用 0 0 0 表示),可以用一个 [ 0 , 100 ] [0,100] [0,100] 内的自然数来表示,数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条,即找到来回两条传递路径,使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在,请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入格式

第一行有两个用空格隔开的整数 m m m n n n,表示班里有 m m m n n n 列。

接下来的 m m m 行是一个 m × n m \times n m×n 的矩阵,矩阵中第 i i i j j j 列的整数表示坐在第 i i i j j j 列的学生的好心程度。每行的 n n n 个整数之间用空格隔开。

输出格式

输出文件共一行一个整数,表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

样例

样例输入

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

样例输出

34

提示

【数据范围】

对于 30 % 30\% 30% 的数据,满足 1 ≤ m , n ≤ 10 1 \le m,n \le 10 1m,n10
对于 100 % 100\% 100% 的数据,满足 1 ≤ m , n ≤ 50 1 \le m,n \le 50 1m,n50

【题目来源】

NOIP 2008 提高组第三题。

温馨提示

温馨提示:不要模仿小渊和小轩的行为哦!

结题思路

四维DP(不推荐)

超出 人类 时间范围的方法
纯暴力,使用一个四维数组, f [ a ] [ b ] [ c ] [ d ] f[a][b][c][d] f[a][b][c][d]

  • a a a b b b表示小渊的纸条往两个不同的方向传的位置
  • c c c d d d表示小轩的纸条往两个不同的方向传的位置

然后四重循环暴力dp即可,下面给出状态转移方程:

f[i][j][k][l]=maxx(f[i][j-1][k-1][l] , f[i-1][j][k][l-1] , f[i][j-1][k][l-1] , f[i-1][j][k-1][l])+a[i][j]+a[k][l]
  • 注:此处的maxx函数为自定义函数,函数内容见下。a数组为当前人的好心程度

这种做法在这里并不超时,但是时间复杂度去到了 O ( n 2 × m 2 ) O(n^2×m^2) O(n2×m2)
因此但凡数据量大一点就会TLE
那么怎么优化呢?

三维DP(推荐)

我们观察题目发现,由于纸条只能从两个方向传,所以我们只需要知道 从一个方向传的次数 以及 总次数 就可以算出 另一个方向传的次数
又因为两人传纸条的总次数一定相等,所以我们可以让它同时进行传纸条运动。
也就是说:只用 一重循环枚举总次数 即可。
总结下来就是三重循环:

for (int k=1;k<n+m;k++) //枚举总次数
	for (int i=1;i<=n;i++)	//枚举小渊传纸条往下传的次数
		for (int j=1;j<=n;j++)	//枚举小轩传纸条往下传的次数

那么时间复杂度大大降低,变为 O ( ( n + m ) × n × m ) O((n+m)×n×m) O((n+m)×n×m)

根据上面的思路,我们只需要一个三维数组 f [ k ] [ i ] [ j ] f[k][i][j] f[k][i][j]

  • k k k表示传纸条的总次数 ( 1 ≤ k ≤ n + m 1≤k≤n+m 1kn+m
  • i i i表示小渊传纸条往下传的次数 (同样也可以枚举向右传的次数)
  • j j j表示小轩传纸条往上传的次数 (同样也可以枚举向左传的次数)

因此我们可以得到状态转移方程:

f[k][i][j]=maxx(f[k-1][i][j],f[k-1][i-1][j],f[k-1][i][j-1],f[k-1][i-1][j-1])+a[i][l1]+a[j][l2];
  • 注:此处的maxx函数为自定义函数(求最大值),函数内容见下。a数组为当前人的好心程度

这是什么意思呢?我们根据上面的数组分析就可以很快看出来:

  • 求出总次数当前次数少1的情况下,最大的好心程度。
  • 加上当前到达的两个人的好心程度。

因此,我们就可以写出代码啦!!

A C 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=200;
int n,m,a[N][N],f[2*N][N][N];
int maxx(int a,int b,int c,int d) {
	return max(max(max(a,b),c),d);
}
int main() {
	cin >>n >>m;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=m;j++)
			cin >>a[i][j];
	for (int k=1;k<n+m;k++)
		for (int i=1;i<=n;i++)
			for (int j=1;j<=n;j++) {
				int l1=k-i+1,l2=k-j+1;	//计算另一个方向的次数
				if (l1<1 || l2<1)
					continue;
				f[k][i][j]=maxx(f[k-1][i][j],f[k-1][i-1][j],f[k-1][i][j-1],f[k-1][i-1][j-1])+a[i][l1]+a[j][l2];
				//状态转移方程
				if (i==j)
					f[k][i][j]-=a[i][l1];	//如果到达的位置是同一个人,那么去掉重复计算的情况
			}
	cout <<f[n+m-1][n][n];
	return 0;
}

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