序号	内容
1	【数理知识】向量的坐标基表示法，Matlab 代码验证
2	【数理知识】向量与基的内积，Matlab 代码验证

1. 向量与基的内积

假设存在一个二维平面内的向量 $\vec{a}$，其在坐标基 ${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2$ 下的坐标值为 $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$。

我们这里先看一下向量 $\vec{a}$ 自身与坐标基 ${\vec{e}}_1$ 的内积。关于内积的原理请参考文章【数理知识】向量数乘，内积，外积，matlab代码实现。这里我们直接使用其结论，即向量的内积为，一个向量在另一个向量方向上的投影长度，乘以被投影向量的长度，如下图所示

用公式描述为

$$\vec{a}\cdot {\vec{e}}_1=\Vert \vec{a}\Vert \Vert {\vec{e}}_1\Vert \cos (\theta )$$

而在我们这里被投影向量为基向量 ${\vec{e}}_1$，而基向量 ${\vec{e}}_1$ 其模长 $\Vert {\vec{e}}_1\Vert$ 又为 $1$，因此

$$\begin{array}{rl}\vec{a}\cdot {\vec{e}}_1& =\Vert \vec{a}\Vert \Vert {\vec{e}}_1\Vert \cos (\theta )\\ & =\Vert \vec{a}\Vert \cos (\theta )\end{array}$$

数值上 $\Vert \vec{a}\Vert \cos (\theta )$ 等于向量 $\vec{a}$ 在坐标基 ${\vec{e}}_1$ 上的坐标值。如果坐标基 ${\vec{e}}_1$ 我们认为其为横坐标，那么 $\vec{a}\cdot {\vec{e}}_1$ 数值上就等于横坐标的值，即

$$\begin{array}{rl}{a}_x& =\vec{a}\cdot {\vec{e}}_1\end{array}$$

同理，我们也可以得到 $\vec{a}\cdot {\vec{e}}_2$ 数值上等于纵坐标的值。

$$\begin{array}{rl}{a}_y& =\vec{a}\cdot {\vec{e}}_2\end{array}$$

最后，公式化描述结论为

$$\begin{array}{rl}{a}_x& =\vec{a}\cdot {\vec{e}}_1=\left[\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{e}_{11}\\ e_{12}\end{array}\right]=a_x{e}_{11}+a_y{e}_{12}\\ a_y& =\vec{a}\cdot {\vec{e}}_2=\left[\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{e}_{21}\\ e_{22}\end{array}\right]=a_x{e}_{21}+a_y{e}_{22}\end{array},\Vert {\vec{e}}_1\Vert =\Vert {\vec{e}}_2\Vert =1$$

---

2. 二维平面向量举例

接下来基于二维平面上的一个向量来举例。

假设存在一个上述的二维平面向量 $\vec{a}$，在标准坐标基 ${\vec{e}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],{\vec{e}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$ 下的坐标值为 $\left[\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]$。

现在，我们更改坐标基为 ${\vec{e}}_{1^{\prime }}=\left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right],{\vec{e}}_{2^{\prime }}=\left[\begin{array}{c}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$，此新基下的坐标值为 $\left[\begin{array}{c}{a}_{x^{\prime }}\\ a_{y^{\prime }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{7}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$。

首先验证结论

$$\begin{array}{rl}{a}_x& =\vec{a}\cdot {\vec{e}}_1=\left[\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{e}_{11}\\ e_{12}\end{array}\right]=a_x{e}_{11}+a_y{e}_{12}\\ & =\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=3\times 1+4\times 0=3\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{a}_{x^{\prime }}& =\vec{a}\cdot {\vec{e}}_{1^{\prime }}=\left[\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{e}_{11^{\prime }}\\ e_{12^{\prime }}\end{array}\right]=a_x{e}_{11^{\prime }}+a_y{e}_{12^{\prime }}\\ & =\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]=3\times \frac{1}{\sqrt{2}}+4\times \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{7}{\sqrt{2}}\end{array}$$

通过观察下图，也能大约看出向量 $\vec{a}$ 在新基 ${\vec{e}}_{1^{\prime }}$ 上的投影长度为 $7/\sqrt{2}$。

这与坐标图中的效果也是一致的。

往下继续验证结论

$$\begin{array}{rl}{a}_y& =\vec{a}\cdot {\vec{e}}_2=\left[\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{e}_{21}\\ e_{22}\end{array}\right]=a_x{e}_{21}+a_y{e}_{22}\\ & =\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=3\times 0+4\times 1=4\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{a}_{y^{\prime }}& =\vec{a}\cdot {\vec{e}}_{2^{\prime }}=\left[\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{e}_{11^{\prime }}\\ e_{12^{\prime }}\end{array}\right]=a_x{e}_{11^{\prime }}+a_y{e}_{12^{\prime }}\\ & =\left[\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]=3\times (-\frac{1}{\sqrt{2}})+4\times \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}$$

第二个结论同样意味着向量 $\vec{a}$ 在新基 ${\vec{e}}_{2^{\prime }}$ 上的投影长度为 $1/\sqrt{2}$。

---

3. 代码验证

a_x = 3;
a_y = 4;
a = [a_x
     a_y];

e_1 = [ 1
        0];
e_2 = [ 0
        1];

e_1_prime = [ sqrt(2)/2
              sqrt(2)/2];
e_2_prime = [-sqrt(2)/2
              sqrt(2)/2];

>> dot(a, e_1)
ans =
     3

>> dot(a, e_2)
ans =
     4

>> dot(a, e_1_prime)
ans =
    4.9497

>> dot(a, e_2_prime)
ans =
    0.7071

---

Ref

---