什么是线性表（线性存储结构）

顺序存储结构和链式存储结构

前驱和后继

顺序表（顺序存储结构）及初始化详解

顺序表的初始化

双向链表及创建（C语言）详解

双向链表的创建

静态链表及其创建（C语言实现）

静态链表中的节点

备用链表

静态链表的创建

循环链表(约瑟夫环)的建立及C语言实现

循环链表实现约瑟夫环

总结

什么是线性表（线性存储结构）

通过前面的学习我们知道，具有“一对一”逻辑关系的数据，最佳的存储方式是使用线性表。那么，什么是线性表呢？

线性表，全名为线性存储结构。使用线性表存储数据的方式可以这样理解，即“把所有数据用一根线儿串起来，再存储到物理空间中”。

图 1 "一对一"逻辑关系的数据

如图 1 所示，这是一组具有“一对一”关系的数据，我们接下来采用线性表将其储存到物理空间中。

首先，用“一根线儿”把它们按照顺序“串”起来，如图 2 所示：

图 2 数据的"线性"结构

图 2 中，左侧是“串”起来的数据，右侧是空闲的物理空间。把这“一串儿”数据放置到物理空间，我们可以选择以下两种方式，如图 3 所示。

两种线性存储结构

图 3 两种线性存储结构

图 3a) 是多数人想到的存储方式，而图 3b) 却少有人想到。我们知道，数据存储的成功与否，取决于是否能将数据完整地复原成它本来的样子。如果把图 3a) 和图 3b) 线的一头扯起，你会发现数据的位置依旧没有发生改变（和图 1 一样）。因此可以认定，这两种存储方式都是正确的。

将具有“一对一”关系的数据“线性”地存储到物理空间中，这种存储结构就称为线性存储结构（简称线性表）。

使用线性表存储的数据，如同向数组中存储数据那样，要求数据类型必须一致，也就是说，线性表存储的数据，要么全部都是整形，要么全部都是字符串。一半是整形，另一半是字符串的一组数据无法使用线性表存储。

顺序存储结构和链式存储结构

图 3 中我们可以看出，线性表存储数据可细分为以下 2 种：

如图 3a) 所示，将数据依次存储在连续的整块物理空间中，这种存储结构称为顺序存储结构（简称顺序表）；
如图 3b) 所示，数据分散的存储在物理空间中，通过一根线保存着它们之间的逻辑关系，这种存储结构称为链式存储结构（简称链表）；

也就是说，线性表存储结构可细分为顺序存储结构和链式存储结构。

前驱和后继

数据结构中，一组数据中的每个个体被称为“数据元素”（简称“元素”）。例如，图 1 显示的这组数据，其中 1、2、3、4 和 5 都是这组数据中的一个元素。

另外，对于具有“一对一”逻辑关系的数据，我们一直在用“某一元素的左侧（前边）或右侧（后边）”这样不专业的词，其实线性表中有更准确的术语：

某一元素的左侧相邻元素称为“直接前驱”，位于此元素左侧的所有元素都统称为“前驱元素”；
某一元素的右侧相邻元素称为“直接后继”，位于此元素右侧的所有元素都统称为“后继元素”；

以图 1 数据中的元素 3 来说，它的直接前驱是 2 ，此元素的前驱元素有 2 个，分别是 1 和 2；同理，此元素的直接后继是 4 ，后继元素也有 2 个，分别是 4 和 5。如图 4 所示：

前驱和后继

图 4 前驱和后继

顺序表（顺序存储结构）及初始化详解

顺序表，全名顺序存储结构，是线性表的一种。通过《什么是线性表》一节的学习我们知道，线性表用于存储逻辑关系为“一对一”的数据，顺序表自然也不例外。

不仅如此，顺序表对数据的物理存储结构也有要求。顺序表存储数据时，会提前申请一整块足够大小的物理空间，然后将数据依次存储起来，存储时做到数据元素之间不留一丝缝隙。

例如，使用顺序表存储集合 {1,2,3,4,5}，数据最终的存储状态如图 1 所示：

图 1 顺序存储结构示意图

由此我们可以得出，将“具有 '一对一' 逻辑关系的数据按照次序连续存储到一整块物理空间上”的存储结构就是顺序存储结构。

通过观察图 1 中数据的存储状态，我们可以发现，顺序表存储数据同数组非常接近。其实，顺序表存储数据使用的就是数组。

顺序表的初始化

使用顺序表存储数据之前，除了要申请足够大小的物理空间之外，为了方便后期使用表中的数据，顺序表还需要实时记录以下 2 项数据：

顺序表申请的存储容量；
顺序表的长度，也就是表中存储数据元素的个数；

提示：正常状态下，顺序表申请的存储容量要大于顺序表的长度。

因此，我们需要自定义顺序表，C 语言实现代码如下：

typedef struct Table{
int * head;//声明了一个名为head的长度不确定的数组，也叫“动态数组”
int length;//记录当前顺序表的长度
int size;//记录顺序表分配的存储容量
}table;

注意，head 是我们声明的一个未初始化的动态数组，不要只把它看做是普通的指针。

接下来开始学习顺序表的初始化，也就是初步建立一个顺序表。建立顺序表需要做如下工作：

给 head 动态数据申请足够大小的物理空间；
给 size 和 length 赋初值；

因此，C 语言实现代码如下：

#define Size 5 //对Size进行宏定义，表示顺序表申请空间的大小
table initTable(){
table t;
t.head=(int*)malloc(Size*sizeof(int));//构造一个空的顺序表，动态申请存储空间
if (!t.head) //如果申请失败，作出提示并直接退出程序
{
printf("初始化失败");
exit(0);
}
t.length=0;//空表的长度初始化为0
t.size=Size;//空表的初始存储空间为Size
return t;
}

我们看到，整个顺序表初始化的过程被封装到了一个函数中，此函数返回值是一个已经初始化完成的顺序表。这样做的好处是增加了代码的可用性，也更加美观。与此同时，顺序表初始化过程中，要注意对物理空间的申请进行判断，对申请失败的情况进行处理，这里只进行了“输出提示信息和强制退出”的操作，可以根据你自己的需要对代码中的 if 语句进行改进。

通过在主函数中调用 initTable 语句，就可以成功创建一个空的顺序表，与此同时我们还可以试着向顺序表中添加一些元素，C 语言实现代码如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define Size 5
typedef struct Table{
int * head;
int length;
int size;
}table;
table initTable(){
table t;
t.head=(int*)malloc(Size*sizeof(int));
if (!t.head)
{
printf("初始化失败");
exit(0);
}
t.length=0;
t.size=Size;
return t;
}
//输出顺序表中元素的函数
void displayTable(table t){
for (int i=0;i<t.length;i++) {
printf("%d ",t.head[i]);
}
printf("\n");
}
int main(){
table t=initTable();
//向顺序表中添加元素
for (int i=1; i<=Size; i++) {
t.head[i-1]=i;
t.length++;
}
printf("顺序表中存储的元素分别是：\n");
displayTable(t);
return 0;
}

程序运行结果如下：

顺序表中存储的元素分别是：
1 2 3 4 5

可以看到，顺序表初始化成功。

双向链表及创建（C语言）详解

目前我们所学到的链表，无论是动态链表还是静态链表，表中各节点中都只包含一个指针（游标），且都统一指向直接后继节点，通常称这类链表为单向链表（或单链表）。

虽然使用单链表能 100% 解决逻辑关系为 "一对一" 数据的存储问题，但在解决某些特殊问题时，单链表并不是效率最优的存储结构。比如说，如果算法中需要大量地找某指定结点的前趋结点，使用单链表无疑是灾难性的，因为单链表更适合 "从前往后" 找，而 "从后往前" 找并不是它的强项。

为了能够高效率解决类似的问题，本节来学习双向链表（简称双链表）。

从名字上理解双向链表，即链表是 "双向" 的，如图 1 所示：

双向链表结构示意图

图 1 双向链表结构示意图

双向，指的是各节点之间的逻辑关系是双向的，但通常头指针只设置一个，除非实际情况需要。

从图 1 中可以看到，双向链表中各节点包含以下 3 部分信息（如图 2 所示）：

指针域：用于指向当前节点的直接前驱节点；
数据域：用于存储数据元素。
指针域：用于指向当前节点的直接后继节点；

双向链表的节点构成

图 2 双向链表的节点构成

因此，双链表的节点结构用 C 语言实现为：

typedef struct line{
struct line * prior; //指向直接前趋
int data;
struct line * next; //指向直接后继
}line;

双向链表的创建

同单链表相比，双链表仅是各节点多了一个用于指向直接前驱的指针域。因此，我们可以在单链表的基础轻松实现对双链表的创建。

需要注意的是，与单链表不同，双链表创建过程中，每创建一个新节点，都要与其前驱节点建立两次联系，分别是：

将新节点的 prior 指针指向直接前驱节点；
将直接前驱节点的 next 指针指向新节点；

这里给出创建双向链表的 C 语言实现代码：

line* initLine(line * head){
head=(line*)malloc(sizeof(line));//创建链表第一个结点（首元结点）
head->prior=NULL;
head->next=NULL;
head->data=1;
line * list=head;
for (int i=2; i<=3; i++) {
//创建并初始化一个新结点
line * body=(line*)malloc(sizeof(line));
body->prior=NULL;
body->next=NULL;
body->data=i;
list->next=body;//直接前趋结点的next指针指向新结点
body->prior=list;//新结点指向直接前趋结点
list=list->next;
}
return head;
}

我们可以尝试着在 main 函数中输出创建的双链表，C 语言代码如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
//节点结构
typedef struct line{
struct line * prior;
int data;
struct line * next;
}line;
//双链表的创建函数
line* initLine(line * head);
//输出双链表的函数
void display(line * head);
int main() {
//创建一个头指针
line * head=NULL;
//调用链表创建函数
head=initLine(head);
//输出创建好的链表
display(head);
//显示双链表的优点
printf("链表中第 4 个节点的直接前驱是：%d",head->next->next->next->prior->data);
return 0;
}
line* initLine(line * head){
//创建一个首元节点，链表的头指针为head
head=(line*)malloc(sizeof(line));
//对节点进行初始化
head->prior=NULL;
head->next=NULL;
head->data=1;
//声明一个指向首元节点的指针，方便后期向链表中添加新创建的节点
line * list=head;
for (int i=2; i<=5; i++) {
//创建新的节点并初始化
line * body=(line*)malloc(sizeof(line));
body->prior=NULL;
body->next=NULL;
body->data=i;
//新节点与链表最后一个节点建立关系
list->next=body;
body->prior=list;
//list永远指向链表中最后一个节点
list=list->next;
}
//返回新创建的链表
return head;
}
void display(line * head){
line * temp=head;
while (temp) {
//如果该节点无后继节点，说明此节点是链表的最后一个节点
if (temp->next==NULL) {
printf("%d\n",temp->data);
}else{
printf("%d <-> ",temp->data);
}
temp=temp->next;
}
}

程序运行结果：

1 <-> 2 <-> 3 <-> 4 <-> 5
链表中第 4 个节点的直接前驱是：3

静态链表及其创建（C语言实现）

《顺序表和链表优缺点》一节，我们了解了两种存储结构各自的特点，那么，是否存在一种存储结构，可以融合顺序表和链表各自的优点，从而既能快速访问元素，又能快速增加或删除数据元素。

静态链表，也是线性存储结构的一种，它兼顾了顺序表和链表的优点于一身，可以看做是顺序表和链表的升级版。

使用静态链表存储数据，数据全部存储在数组中（和顺序表一样），但存储位置是随机的，数据之间"一对一"的逻辑关系通过一个整形变量（称为"游标"，和指针功能类似）维持（和链表类似）。

例如，使用静态链表存储 {1,2,3} 的过程如下：

创建一个足够大的数组，假设大小为 6，如图 1 所示：

空数组

图 1 空数组

接着，在将数据存放到数组中时，给各个数据元素配备一个整形变量，此变量用于指明各个元素的直接后继元素所在数组中的位置下标，如图 2 所示：

静态链表存储数据

图 2 静态链表存储数据

通常，静态链表会将第一个数据元素放到数组下标为 1 的位置（a[1]）中。

图 2 中，

从 a[1] 存储的数据元素 1 开始，通过存储的游标变量 3，就可以在 a[3] 中找到元素 1 的直接后继元素 2；

通过元素 a[3] 存储的游标变量 5，可以在 a[5] 中找到元素 2 的直接后继元素 3，这样的循环过程直到某元素的游标变量为 0 截止（因为 a[0] 默认不存储数据元素）。

类似图 2 这样，通过 "数组+游标" 的方式存储具有线性关系数据的存储结构就是静态链表。

静态链表中的节点

通过上面的学习我们知道，静态链表存储数据元素也需要自定义数据类型，至少需要包含以下 2 部分信息：

数据域：用于存储数据元素的值；
游标：其实就是数组下标，表示直接后继元素所在数组中的位置；

因此，静态链表中节点的构成用 C 语言实现为：

typedef struct {
int data;//数据域
int cur;//游标
}component;

备用链表

图 2 显示的静态链表还不够完整，静态链表中，除了数据本身通过游标组成的链表外，还需要有一条连接各个空闲位置的链表，称为备用链表。

备用链表的作用是回收数组中未使用或之前使用过（目前未使用）的存储空间，留待后期使用。也就是说，静态链表使用数组申请的物理空间中，存有两个链表，一条连接数据，另一条连接数组中未使用的空间。

通常，备用链表的表头位于数组下标为 0（a[0]）的位置，而数据链表的表头位于数组下标为 1（a[1]）的位置。

静态链表中设置备用链表的好处是，可以清楚地知道数组中是否有空闲位置，以便数据链表添加新数据时使用。比如，若静态链表中数组下标为 0 的位置上存有数据，则证明数组已满。

例如，使用静态链表存储 {1,2,3}，假设使用长度为 6 的数组 a，则存储状态可能如图 3 所示：

备用链表和数据链表

图 3 备用链表和数据链表

图 3 中，备用链表上连接的依次是 a[0]、a[2] 和 a[4]，而数据链表上连接的依次是 a[1]、a[3] 和 a[5]。

静态链表的创建

假设使用静态链表（数组长度为 6）存储 {1,2,3}，则需经历以下几个阶段：

在数据链表未初始化之前，数组中所有位置都处于空闲状态，因此都应被链接在备用链表上，如图 4 所示：

图 4 未存储数据之前静态链表的状态

当向静态链表中添加数据时，需提前从备用链表中摘除节点，以供新数据使用。
备用链表摘除节点最简单的方法是摘除 a[0] 的直接后继节点；同样，向备用链表中添加空闲节点也是添加作为 a[0] 新的直接后继节点。因为 a[0] 是备用链表的第一个节点，我们知道它的位置，操作它的直接后继节点相对容易，无需遍历备用链表，耗费的时间复杂度为 O(1)。
在图 4 的基础上，向静态链表中添加元素 1 的过程如图 5 所示：

图 5 静态链表中添加元素 1
在图 5 的基础上，添加元素 2 的过程如图 6 所示：

图 6 静态链表中继续添加元素 2
在图 6 的基础上，继续添加元素 3 ，过程如图 7 所示：

图 7 静态链表中继续添加元素 3

由此，静态链表就创建完成了。

下面给出了创建静态链表的 C 语言实现代码：

#include <stdio.h>
#define maxSize 6
typedef struct {
int data;
int cur;
}component;
//将结构体数组中所有分量链接到备用链表中
void reserveArr(component *array);
//初始化静态链表
int initArr(component *array);
//输出函数
void displayArr(component * array,int body);
//从备用链表上摘下空闲节点的函数
int mallocArr(component * array);
int main() {
component array[maxSize];
int body=initArr(array);
printf("静态链表为：\n");
displayArr(array, body);
return 0;
}
//创建备用链表
void reserveArr(component *array){
for (int i=0; i<maxSize; i++) {
array[i].cur=i+1;//将每个数组分量链接到一起
array[i].data=-1;
}
array[maxSize-1].cur=0;//链表最后一个结点的游标值为0
}
//提取分配空间
int mallocArr(component * array){
//若备用链表非空，则返回分配的结点下标，否则返回 0（当分配最后一个结点时，该结点的游标值为 0）
int i=array[0].cur;
if (array[0].cur) {
array[0].cur=array[i].cur;
}
return i;
}
//初始化静态链表
int initArr(component *array){
reserveArr(array);
int body=mallocArr(array);
//声明一个变量，把它当指针使，指向链表的最后的一个结点，因为链表为空，所以和头结点重合
int tempBody=body;
for (int i=1; i<4; i++) {
int j=mallocArr(array);//从备用链表中拿出空闲的分量
array[tempBody].cur=j;//将申请的空闲分量链接在链表的最后一个结点后面
array[j].data=i;//给新申请的分量的数据域初始化
tempBody=j;//将指向链表最后一个结点的指针后移
}
array[tempBody].cur=0;//新的链表最后一个结点的指针设置为0
return body;
}
void displayArr(component * array,int body){
int tempBody=body;//tempBody准备做遍历使用
while (array[tempBody].cur) {
printf("%d,%d ",array[tempBody].data,array[tempBody].cur);
tempBody=array[tempBody].cur;
}
printf("%d,%d\n",array[tempBody].data,array[tempBody].cur);
}

代码输出结果为：

静态链表为：
-1,2 1,3 2,4 3,0

提示，此代码创建了一个带有头节点的静态链表，因此最先输出的 "-1,2" 表示的是头节点（-1表示此处未存储数据），其首元节点（存储元素 1 的节点）在数组 array[2] 中。

循环链表(约瑟夫环)的建立及C语言实现

无论是静态链表还是动态链表，有时在解决具体问题时，需要我们对其结构进行稍微地调整。比如，可以把链表的两头连接，使其成为了一个环状链表，通常称为循环链表。

和它名字的表意一样，只需要将表中最后一个结点的指针指向头结点，链表就能成环儿，如图 1 所示。

图1 循环链表

需要注意的是，虽然循环链表成环状，但本质上还是链表，因此在循环链表中，依然能够找到头指针和首元节点等。循环链表和普通链表相比，唯一的不同就是循环链表首尾相连，其他都完全一样。

循环链表实现约瑟夫环

约瑟夫环问题，是一个经典的循环链表问题

题意是：已知 n 个人（分别用编号 1，2，3，…，n 表示）围坐在一张圆桌周围，从编号为 k 的人开始顺时针报数，数到 m 的那个人出列；他的下一个人又从 1 开始，还是顺时针开始报数，数到 m 的那个人又出列；依次重复下去，直到圆桌上剩余一个人。

如图 2 所示，假设此时圆周周围有 5 个人，要求从编号为 3 的人开始顺时针数数，数到 2 的那个人出列：

循环链表实现约瑟夫环