多智能体共识算法的粗略数学证明

news2024/12/23 16:37:35

这篇文章是对论文《Consensus and Cooperation in Networked Multi-Agent Systems》中定理一的粗略数学证明。

论文中的定理一

对一个由 n 个智能体以拓扑结构 G 组成的网络,使用以下共识算法:
x ˙ i ( t ) = Σ j ∈ N i a i j ( x j ( t ) − x i ( t ) ) ,   x ( 0 ) = z \dot{x}_i(t)=\Sigma_{j\in N_i}a_{ij}(x_j(t)-x_i(t)),\ x(0)=z x˙i(t)=ΣjNiaij(xj(t)xi(t)), x(0)=z
假设 G 为强连通有向图,令 L 为 G 的拉普拉斯量,且其左特征向量 γ = ( γ 1 , ⋯   , γ n ) \gamma=(\gamma_1,\cdots,\gamma_n) γ=(γ1,,γn) 满足 γ T L = 0 \gamma^T L=0 γTL=0。则有:

  1. 对所有的初始态 z z z,算法可以渐进地达成一个共识;
  2. 该算法能够解决 f ( z ) = ( γ T z ) / ( γ T 1 ) f(z)=(\gamma^T z)/(\gamma^T \pmb{1}) f(z)=(γTz)/(γT1) 形式的 f-共识问题,其对应的群体决策为 α = Σ i w i z i \alpha=\Sigma_i w_i z_i α=Σiwizi,其中 Σ i w i = 1 \Sigma_i w_i=1 Σiwi=1
  3. 如果 G 为强连通有向平衡图,该算法可以渐进地达成均值共识,对应的群体决策为 α = 1 n Σ i x i ( 0 ) \alpha=\frac{1}{n}\Sigma_i x_i(0) α=n1Σixi(0)
  • 对 1. 的证明

    • 该算法的紧凑形式为 x ˙ = − L x \dot{x}=−Lx x˙=Lx,则其解为 x ( t ) = e − t L x ( 0 ) x(t)=e^{−tL}x(0) x(t)=etLx(0),所以 x ( t ) x(t) x(t) 的收敛性可由 e − t L e^{−tL} etL 判定;

    • L L L 的Jordan标准型为 J J J,即 L = P J P − 1 L=PJP^{−1} L=PJP1,则 f ( L ) = P d i a g ( f ( J 1 ) , ⋯   , f ( J s ) ) P − 1 f(L)=P diag(f(J_1 ),\cdots,f(J_s))P^{−1} f(L)=Pdiag(f(J1),,f(Js))P1,故有 e − t L = P d i a g ( e − t J 1 , ⋯   , e − t J s ) P − 1 e^{−tL}=P diag(e^{−tJ_1},\cdots,e^{−tJ_s})P^{−1} etL=Pdiag(etJ1,,etJs)P1,所以 x ( t ) x(t) x(t) 的收敛性可由 e − t J i e^{−tJ_i} etJi 判定;

    • 由于 e − t J i = e − t λ i ∗ T e^{−tJ_i}=e^{−t\lambda_i}∗T etJi=etλiT,其中矩阵 T T T 的元素为 t t t 的幂函数,所以 x ( t ) x(t) x(t) 的收敛性可由 e − t λ i e^{−t\lambda_i } etλi 判定;

    • 根据引理2( L L L 的秩为 n − 1 n−1 n1,且所有非零特征值 λ i \lambda_i λi 均有正实部 ),故 L L L 的特征值中仅存在一个 0,对应的特征向量为 α 1 \alpha \pmb{1} α1 − L ( α 1 ) = 0 −L(\alpha \pmb{1})=0 L(α1)=0,又由 e − t λ i = e − t ( a i + j b i ) = e − t a i e − j t b i → 0 e^{−t\lambda_i }=e^{−t(a_i+jb_i)}=e^{−ta_i} e^{−jtb_i}\to 0 etλi=et(ai+jbi)=etaiejtbi0 可知 x ( t ) x(t) x(t) 收敛,即有 x ˙ ( ∞ ) = − L x ( ∞ ) = 0 \dot{x}(\infin)=−Lx(\infin)=0 x˙()=Lx()=0,所以 x ( ∞ ) = α 1 x(\infin)=\alpha \pmb{1} x()=α1

  • 对 2. 的证明

    可以考虑借助不变量 y = γ T x y=\gamma^T x y=γTx 并考察其初态与终态。
    γ = 1 \gamma=\pmb{1} γ=1 是 L 的左特征向量的充要条件是 G 为平衡有向图。

  • 对 3. 的证明:略

在这里插入图片描述

参考材料

  • 第1章-多智能体系统
  • 《自动控制原理学习笔记》
  • 网络化多智能体系统的共识与合作
  • 第十八课:Gerschgorin(盖尔)圆盘定理
  • 6.4 Gershgorin圆盘定理
  • 【矩阵论】范数和矩阵函数(2)
  • (数值分析)十四、 矩阵幂级数及矩阵函数
  • 9矩阵微分方程

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