圆圈中最后剩下的数字（约瑟夫环问题）

这是一道典型的约瑟夫环问题，而约瑟夫问题的一般形式是这样的：

约瑟夫问题是个有名的问题：N个人围成一圈，从第一个开始报数，第M个将被杀掉，最后剩下一个，其余人都将被杀掉。例如N=6，M=5，被杀掉的顺序是：5，4，6，2，3。

如果我们采用暴力解法，采用计数的方式来求出最后存活的人，不难写出下面的代码：

int lastRemaining(int n, int m){
    //开辟数组，同时每个位置的值都初始化为下标
    int *nums = (int*)malloc(sizeof(int) * n);
    for (int i=0; i<n; i++)
        nums[i] = i;

    int ret;	//返回值
    int count_del = 0;	//记录已经删除人的个数
    int count_m = 0;	//用来报数
    int index = 0;	//记录下标

    //每杀一个人就将这个位置的数据置为-1
    while (count_del < n)
    {
        if (index < n)
        {
            //如果当前位置是正数，就将这个位置置为-1，同时报一次数
            if (nums[index] >= 0)
            {
                index++;
                count_m++;                
            }
            //否则直接跳到下一个数
            else 
                index++;
        }
        //如果报的数等于m，就要杀index前的一个人，同时将报的数置0
        if (count_m == m)
        {
            count_m = 0;

            nums[index - 1] = -1;
            count_del++;
        }
        //如果index越界，那么重新返回数组头
        if (index >= n)
            index = 0;
        //如果杀的人达到了n-1，那么就只剩下了最后一人，即index的位置
        if (count_del == n - 1)
            ret = nums[index];
    }

    //释放空间
    free(nums);

    return ret;
}

这种写法有一个特点：我们是在不断模拟整个杀人的过程，从第一个杀到最后一个，时间复杂度高达O(nm)，当n, m达到上万，上十万的时候，我们就无法在短时间内得到正确的结果了。我们应该清楚，题目只是让我们得到最后生还者的位置，而不是让我们模拟整个杀人的过程，因此我们应该将重点放在生还者的位置变化这一点上。