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题目

0,1,···,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里删除第m个数字（删除后从下一个数字开始计数）。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

例如，0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前4个数字依次是2、0、4、1，因此最后剩下的数字是3。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/yuan-quan-zhong-zui-hou-sheng-xia-de-shu-zi-lcof
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思考

著名的约瑟夫环问题：这是大佬的数学解题思路

总体我的理解:留下的num的上一次的下标=(当前index + m) % 上一轮剩余数字的个数

数学解法，O(n)O(n)
这么著名的约瑟夫环问题，是有数学解法的！
因为数据是放在数组里，所以我在数组后面加上了数组的复制，以体现是环状的。我们先忽略图片里的箭头：
【第一轮后面的数字应该是[0, 1, 2 ,3 ,4]，手误打错了。。抱歉】

很明显我们每次删除的是第 mm 个数字，我都标红了。

第一轮是 [0, 1, 2, 3, 4] ，所以是 [0, 1, 2, 3, 4] 这个数组的多个复制。这一轮 2 删除了。

第二轮开始时，从 3 开始，所以是 [3, 4, 0, 1] 这个数组的多个复制。这一轮 0 删除了。

第三轮开始时，从 1 开始，所以是 [1, 3, 4] 这个数组的多个复制。这一轮 4 删除了。

第四轮开始时，还是从 1 开始，所以是 [1, 3] 这个数组的多个复制。这一轮 1 删除了。

最后剩下的数字是 3。

图中的绿色的线指的是新的一轮的开头是怎么指定的，每次都是固定地向前移位 mm 个位置。

然后我们从最后剩下的 3 倒着看，我们可以反向推出这个数字在之前每个轮次的位置。

最后剩下的 3 的下标是 0。

第四轮反推，补上 mm 个位置，然后模上当时的数组大小 22，位置是(0 + 3) % 2 = 1。

第三轮反推，补上 mm 个位置，然后模上当时的数组大小 33，位置是(1 + 3) % 3 = 1。

第二轮反推，补上 mm 个位置，然后模上当时的数组大小 44，位置是(1 + 3) % 4 = 0。

第一轮反推，补上 mm 个位置，然后模上当时的数组大小 55，位置是(0 + 3) % 5 = 3。

所以最终剩下的数字的下标就是3。因为数组是从0开始的，所以最终的答案就是3。

总结一下反推的过程，就是 (当前index + m) % 上一轮剩余数字的个数。

代码和注释

class Solution {
    public int lastRemaining(int n, int m) {
        // ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>(n);
        // for (int i = 0; i < n; i++) {
        //     list.add(i);
        // }
        // int idx = 0;
        // while (n > 1) {
        //     idx = (idx + m - 1) % n;
        //     list.remove(idx);
        //     n--;
        // }
        // return list.get(0);

        int idx = 0;
        for(int i = 2; i<=n;i++){
            idx = (idx + m) % i;
        }
        return idx;
    }
}

总结

数学归纳