静电场方程与边界面上的衔接条件 工程电磁学 P6

news2024/12/29 8:40:32

我们现在已经知道两个公式

\oint_s\vec E \cdot d\vec l=0

\int_S \vec D \cdot d\vec S=\int_v \rho dv

我们可以得到微分形式

\nabla \times \vec E=0

\nabla \cdot \vec D=\rho

对于体密度，面密度，线密度，点电荷的理解

很多同学会问空间中为什么要有面密度，线密度的存在呢？

其实这个是模型的需要，因为介质不一定是连续的，而在体密度不存在的地方，引入面密度，线密度，点电荷则可以简化很多问题

首先由于之前的定义，边界处存在极化电荷

极化电荷根据定义 ,两边极化电荷的体密度，\rho_{p_1}=-\nabla \cdot \vec P_{1},\rho_{p_2}=-\nabla \cdot \vec P_{2}

\sigma_{p}=\vec p_{1} \cdot \vec e_{n}-\vec p_{2} \cdot \vec e_{n}

我们在界面处取微元，因为厚度足够小，所以不管什么量在法线方向的积分为0

首先看右边那幅图，由于环路定理

我们可以得到\oint_s \vec E \cdot d\vec l=0

E_{1t} \Delta l -E_{2t} \Delta l=0

我们可以得到E_{1t}=E_{2t}

再看左边那幅图，由于高斯定律

D_{2n} \Delta S-D_{1n} \Delta S=\sigma \Delta S

我们可以得到 D_{2n}-D_{1n}=\sigma

此时我们假设自由电荷的面密度为0

我们可以得到

D_{1}cos(\alpha_{1})=D_2cos(\alpha_{2})

E_{1}sin(\alpha_{1})=E_{2}sin(\alpha_2)

我们有假设是各向同性并且线性的介质

我们有\vec D_{1}=\varepsilon_1\vec E_1,\vec D_{2}=\varepsilon_2 \vec E_{2}

代入可以得到\frac{tan(\alpha_1)}{tan(\alpha_2)}=\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}

导体和电介质的分解面

在导体内部，我们已经知道\vec D=0,\vec E=0,E_{2t}=0

D_n=\sigma,又因为是各向同性的线性介质

我们可以得到\sigma = \varepsilon E_n

分析电势

因为电势不可能发生突变

我们可以得到 \varphi_1=\varphi_2

因为\vec E_n=-\frac{\partial \varphi}{\partial n}

我们可以得到-\varepsilon_2 \frac{\partial \varphi_2}{\partial n}-(-\varepsilon_1 \frac{\partial \varphi_1}{\partial n})=\sigma

我们可以得到\sigma=-\varepsilon \frac{\partial \varphi}{\partial n}

静电场的边值问题

泊松方程

\nabla^2 \varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon}

拉普拉斯方程

\nabla^2 \varphi=0

第一类边界条件\varphi|_{L}=f_1 (s)

第二类边界条件 \frac{\partial \varphi}{\partial n}|_{L}=f_{1}(s)

第三类边界条件(\varphi +\beta \frac{\partial \varphi}{\partial n})=f_{1}(s)

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