静电场方程与边界面上的衔接条件工程电磁学 P6

news2024/11/24 17:18:24

我们现在已经知道两个公式

$\oint_s\vec E \cdot d\vec l=0$

$\int_S \vec D \cdot d\vec S=\int_v \rho dv$

我们可以得到微分形式

$\nabla \times \vec E=0$

$\nabla \cdot \vec D=\rho$

对于体密度，面密度，线密度，点电荷的理解

很多同学会问空间中为什么要有面密度，线密度的存在呢？

其实这个是模型的需要，因为介质不一定是连续的，而在体密度不存在的地方，引入面密度，线密度，点电荷则可以简化很多问题

首先由于之前的定义，边界处存在极化电荷

极化电荷根据定义 ,两边极化电荷的体密度， $\rho_{p_1}=-\nabla \cdot \vec P_{1},\rho_{p_2}=-\nabla \cdot \vec P_{2}$

$\sigma_{p}=\vec p_{1} \cdot \vec e_{n}-\vec p_{2} \cdot \vec e_{n}$

我们在界面处取微元，因为厚度足够小，所以不管什么量在法线方向的积分为0

首先看右边那幅图，由于环路定理

我们可以得到 $\oint_s \vec E \cdot d\vec l=0$

$E_{1t} \Delta l -E_{2t} \Delta l=0$

我们可以得到 $E_{1t}=E_{2t}$

再看左边那幅图，由于高斯定律

$D_{2n} \Delta S-D_{1n} \Delta S=\sigma \Delta S$

我们可以得到 $D_{2n}-D_{1n}=\sigma$

此时我们假设自由电荷的面密度为0

我们可以得到

$D_{1}cos(\alpha_{1})=D_2cos(\alpha_{2})$

$E_{1}sin(\alpha_{1})=E_{2}sin(\alpha_2)$

我们有假设是各向同性并且线性的介质

我们有 $\vec D_{1}=\varepsilon_1\vec E_1,\vec D_{2}=\varepsilon_2 \vec E_{2}$

代入可以得到 $\frac{tan(\alpha_1)}{tan(\alpha_2)}=\frac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}$

导体和电介质的分解面

在导体内部，我们已经知道 $\vec D=0,\vec E=0$ , $E_{2t}=0$

$D_n=\sigma$ ,又因为是各向同性的线性介质

我们可以得到 $\sigma = \varepsilon E_n$

分析电势

因为电势不可能发生突变

我们可以得到 $\varphi_1=\varphi_2$

因为 $\vec E_n=-\frac{\partial \varphi}{\partial n}$

我们可以得到 $-\varepsilon_2 \frac{\partial \varphi_2}{\partial n}-(-\varepsilon_1 \frac{\partial \varphi_1}{\partial n})=\sigma$

我们可以得到 $\sigma=-\varepsilon \frac{\partial \varphi}{\partial n}$

静电场的边值问题

泊松方程

$\nabla^2 \varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon}$

拉普拉斯方程

$\nabla^2 \varphi=0$

第一类边界条件 $\varphi|_{L}=f_1 (s)$

第二类边界条件 $\frac{\partial \varphi}{\partial n}|_{L}=f_{1}(s)$

第三类边界条件 $(\varphi +\beta \frac{\partial \varphi}{\partial n})=f_{1}(s)$

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