参考

代码随想录

题目一：LeetCode 121. 买卖股票的最佳时机

注意这个题只买卖一次！！

贪心

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int low = INT_MAX;
        int result = 0;
        for(int i = 0; i < prices.size(); i++){
            low = min(low,prices[i]);
            result = max(result,prices[i]  - low);
        }
        return result;
    }
};

动态规划

1. 确定dp数组下标及其含义

• dp[i][0]：第0至第i天（包括第i天）买入股票需要花费的最小金额
• dp[i][1]：第i天持有的最大利润

注意，两者的区别，dp[i][0]表示的是第0到第i天，是一个区间，在这个区间内买入需要花费的最少金额；而dp[i][1]表示的是第i天持有的利润，这里并不一定是第i天卖出，可能在之前就已经卖出了。

2. 确定递推公式

• dp[i][0]
  如果第i天才买入股票，那么需要花费prices[i]的费用；
  如果第i-1天的时候已经买入了，那么花费的费用和第i-1天一样，即保持不变，dp[i][0] = dp[i-1][0]
  因为最终要保证利润最大，因此要使得买入花费的费用最小，所以 dp[i][0] = min(prices[i], dp[i-1][0])
• dp[i][1]
  如果第i天卖出，那么第i天的利润为 prices[i] - dp[i][0]
  如果第i天之前已经卖出，那么利润和前一天的一样，即保持不变，dp[i][1] = dp[i-1][1]
  保证利润最大，因此dp[i][1] = max(prices[i] - dp[i][0], dp[i-1][1])

3. dp数组初始化
   因为第i天的状态只涉及到第i-1天，因此只需要初始化i=0的时候即可，dp[0][0] = prices[0]，dp[0][1] = 0

4. 确定遍历顺序
   从前往后遍历即可。

5. 举例推导dp数组
   
   完整的代码实现如下：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        vector<vector<int>> dp(prices.size(),vector<int>(2));
        dp[0][0] = prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for(int i = 1; i < prices.size(); i++){
            dp[i][0] = min(prices[i],dp[i-1][0]);
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1],prices[i]-dp[i][0]);
        }
        return dp.back()[1];
    }
};

题目二：LeetCode 122. 买卖股票的最佳时机II

贪心

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int profit = 0;
        for(int i = 1; i < prices.size(); i++)
            profit += max(prices[i]-prices[i-1],0);
        return profit;
    }
};

动态规划

这个题和上一个题的区别在于可以多次买卖，主要体现在递推公式上。

• dp[i][0]：第0至第i天（包括第i天）买入股票需要花费的最小金额
• dp[i][1]：第i天持有的最大利润

因为上一个题只买卖一次，所以花费的金额只能是0-i天中的最小值，这里多次买卖，所以还需要考虑之前卖出所得的利润，这里的符号定义很好理解，花费的金额为正就是花钱，为负说明是收入。因此dp[i][0] = min(prices[i] - dp[i-1][1],dp[i-1][0])，即当前花费的钱要减去上一次的卖出得到的利润，举个例子，在第i天买入一只股票，价格为3，之前买卖股票所得的利润为5，那么买入这只股票之后所花费的金额为3-5 = -2，为负说明即使买入股票之后还是盈利。

两个题的递推公式区别仅在于dp[i][0].

• 只买卖一次

  dp[i][0] = min(prices[i],dp[i-1][0]);
  dp[i][1] = max(dp[i-1][1],prices[i]-dp[i][0]);
  

• 多次买卖

  dp[i][0] = min(prices[i] - dp[i-1][1],dp[i-1][0]);
  dp[i][1] = max(dp[i-1][1],prices[i]-dp[i][0]);
  

一次买卖和多次买卖的dp数组推导区别：

本题完整的代码实现如下：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        vector<vector<int>> dp(prices.size(),vector<int>(2));
        dp[0][0] = prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        for(int i = 1; i < prices.size(); i++){
            dp[i][0] = min(prices[i] - dp[i-1][1],dp[i-1][0]);
            dp[i][1] = max(dp[i-1][1],prices[i]-dp[i][0]);
        }
        return dp.back()[1];
    }
};