在七月算法报的班，老师讲的蛮好。好记性不如烂笔头，关键内容还是记录一下吧，课程入口，感兴趣的同学可以学习一下。
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旋转矩阵R与变换矩阵T是两个特殊的矩阵，它们具有如下的性质：
这两种矩阵对加法不封闭，对乘法封闭
SLAM的运动模型为：
其中Xk-1为上一个时刻的位置，Uk为当前时刻的操作，Xk为当前的位置，Wk为噪声。
SLAM的观测模型为：
其中Xk与Yj分别为机器人与路标的绝对坐标，Zkj为观测结果，Vkj为噪声。
问题出现在这里，当做优化时，对矩阵进行求导，但是变换矩阵和旋转矩阵加个deltaR，结果不是变换矩阵（因为对加法不封闭）
李代数就是为了解决SLAM中无法直接求导的工具。
群的定义：群(G)是一种代数结构，集合(A)+运算(·): 𝐺 = (𝐴,·);
李群的特点：
➢ 具有连续（光滑）性质的群。
➢ 李群既是群也是流形。
SO(3) 和 SE(3) 只有定义良好的乘法，没有加法，所以难以进行取极限、求导等操作。做法是将李群向李代数转换，求导后再变回来。
𝑹是某个相机的旋转，它会随时间连续地变化，即为时间的函数： 𝑹(𝑡)
反对称矩阵是指，对角线两侧元素的绝对值相同，符号相反。
反对称矩阵与向量之间可以相互转化（类似于矩阵的压缩）
R矩阵的求导方式：
李群到李代数是指数映射
每个李群都有与之对应的李代数；李代数描述了李群单位元附近的正切空间性质；
李代数的定义
二元运算 被称为李括号(Lie Bracket)。李括号表达了两个元素的差异。
旋转矩阵与变换矩阵的李代数：
李群到李代数是指数映射
旋转矩阵的泰勒展开
这里又回到了罗德里格斯公式：
变换矩阵的指数映射：
旋转矩阵与变换矩阵的李群和李代数总结（都在图里）：
回到之前的问题，矩阵R无法求导，因为加上deltaR，就不是旋转矩阵和平移矩阵了。
解决方案：1. 先利用李代数上加法定义李群元素的导数;2. 再使用指数映射和对数映射完成变换关系。
BCH公式
虑SO(3) 上的李代数(对数/指数)：
同理对于SE(3)
回到现实问题，如果需要求极值，有两种方法：
两种方法的对比：
显然，扰动模型更加简洁，计算方便。
总结一下，就是旋转矩阵与变换矩阵在加法空间没有封闭性，所以无法直接求导做优化。为了解决这个问题，引入了李群和李代数。
1.利用 BCH 线性近似，可以推导 so(3) 与 se(3) 上的导数和扰动模型2.通常情况下，扰动模型更为简洁实用。
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