积分代换和周期函数

news2024/11/27 16:41:07

昨晚上看书,有一个稳定随机过程的例题,涉及积分上下限代换、周期函数的微积分性质等知识点。这种题型以前肯定接触过,当下遇到了,思维仍然迷迷糊糊,像是一团乱麻,纠缠不清,照着答案思考了半天,短时间也转不过弯来,特此学习记忆一下,加深一下理解。可悲的是,好多知识学过了,但是不牢固,经常还会在同一个地方犯错。

在这里插入图片描述

40岁了,还在学习高数的基础知识,但愿不会被人耻笑,但愿对我的人生有一点价值。

例1 积分代换求解积分 ∫ 3 8 2 x + 4 d x \int _{3} ^{8} 2x + 4 dx 382x+4dx

解:
根绝积分公式直接求解:
∫ 3 8 2 x + 4 d x = x 2 + 4 x ∣ 3 8 = 96 − 21 = 75 \int _{3} ^{8} 2x + 4 dx = x^2 + 4x \vert ^{8}_{3} =96 - 21 = 75 382x+4dx=x2+4x38=9621=75

设u = 2x + 4,则 x = (u - 4) /2 ,带入积分表达式:
∫ 3 8 2 x + 4 d x = ∫ ? ? u d ( u − 4 2 ) \int ^{8}_{3} 2x + 4 dx = \int ^{?}_{?} u d(\frac {u -4}{2} ) 382x+4dx=??ud(2u4)

此时,积分上下限改怎样修改呢?这个问题我一直搞不清楚,此时上下限是不是" u − 4 2 = 8 = > 上限为 20 \frac {u-4}{2} = 8=>上限为20 2u4=8=>上限为20 "和 " u − 4 2 = 3 = > 下限为 10 \frac {u-4}{2} = 3=> 下限为10 2u4=3=>下限为10 "呢?

当然,上述表达式也可以表达为:" 2 × 8 + 4 = 20 = > 上限为 20 2 \times 8 + 4 = 20=>上限为20 2×8+4=20=>上限为20 "和 " 2 × 3 + 4 = 10 = > 下限为 10 2 \times 3 + 4= 10=> 下限为10 2×3+4=10=>下限为10 "

抑或是," 8 − 4 2 = 2 = > 上限为 2 \frac {8-4}{2} = 2=>上限为2 284=2=>上限为2 "和 " 3 − 4 2 = − 0.5 = > 下限为 − 0.5 \frac {3-4}{2} = -0.5=> 下限为-0.5 234=0.5=>下限为0.5 "呢?

现在分别带入计算一下:

∫ 3 8 2 x + 4 d x = ∫ 10 20 u d ( u − 4 2 ) = 1 4 u 2 ∣ 10 20 = 100 − 25 = 75 \int ^{8}_{3} 2x + 4 dx = \int ^{20}_{10} u d(\frac {u -4}{2} ) = \frac {1}{4} u^2 \vert ^{20}_{10} = 100 - 25 = 75 382x+4dx=1020ud(2u4)=41u21020=10025=75

∫ 3 8 2 x + 4 d x = ∫ − 0.5 2 u d ( u − 4 2 ) = 1 4 u 2 ∣ − 0.5 2 = 1 − 1 / 16 = 15 / 16 \int ^{8}_{3} 2x + 4 dx = \int ^{2}_{-0.5} u d(\frac {u -4}{2} ) = \frac {1}{4} u^2 \vert ^{2}_{-0.5} = 1 - 1/16 = 15/16 382x+4dx=0.52ud(2u4)=41u20.52=11/16=15/16

可见第一种代换方式是正确的。

例2 化简表达式 I = ∫ 0 x t f ( x − t ) d t I =\int _{0}^{x} t f(x -t)dt I=0xtf(xt)dt

解:
提示:此种情况下,积分表达式中的x要视为常数。

设 x- t = u,则 t = -u + x,带入积分表达式:

I = ∫ x 0 ( x − u ) f ( u ) d ( − u + x ) = ∫ 0 x ( x − u ) f ( u ) d u I = \int ^{0}_{x} (x -u) f(u) d(-u + x) = \int _{0}^{x} (x-u)f(u)du I=x0(xu)f(u)d(u+x)=0x(xu)f(u)du

例3 证明 ∫ a a + T f ( t ) d t = ∫ 0 T f ( t ) d t \int _{a}^{a+T} f(t)dt =\int _{0}^{T} f(t)dt aa+Tf(t)dt=0Tf(t)dt其中,T是周期函数f(t)的周期。

证明:

设 t = u + a,带入积分表达式得:

∫ a a + T f ( t ) d t = ∫ 0 T f ( u + a ) d ( u ) = ∫ 0 T f ( u ) d ( u ) \int _{a}^{a+T} f(t)dt = \int _{0}^{T} f(u+a)d(u) = \int _{0}^{T} f(u)d(u) aa+Tf(t)dt=0Tf(u+a)d(u)=0Tf(u)d(u)
考察积分函数的几何意义,一元函数积分值代表积分函数跟坐标轴围成的面积,因此,上式的变换是符合积分的几何意义的。

证法2:
∫ a a + T f ( t ) d t = ∫ a 0 f ( t ) d ( t ) + ∫ 0 T f ( t ) d ( t ) + ∫ T T + a f ( t ) d ( t ) (3.1) \int _{a}^{a+T} f(t)dt = \int _{a}^{0} f(t)d(t) + \int _{0}^{T} f(t)d(t) + \int _{T}^{T+a} f(t)d(t) \tag {3.1} aa+Tf(t)dt=a0f(t)d(t)+0Tf(t)d(t)+TT+af(t)d(t)(3.1)

∫ T T + a f ( t ) d ( t ) = ∫ 0 a f ( u + T ) d ( u ) = ∫ 0 a f ( u ) d ( u ) \int _{T}^{T+a} f(t)d(t) = \int _{0}^{a} f(u+T)d(u) = \int _{0}^{a} f(u)d(u) TT+af(t)d(t)=0af(u+T)d(u)=0af(u)d(u)

故(3.1)式化简为 ∫ 0 T f ( t ) d ( t ) \int _{0}^{T} f(t)d(t) 0Tf(t)d(t)

例4 证明周期相同的周期函数的和差积商也是周期函数。

证明:
假设f(x), g(x)都是周期为T 的周期函数,则对于任意的x都满足:
I(x) = f(x)+g(x) = f(x+T)+g(x+T) ,故证明其和为周期函数
I(x) = f(x)-g(x) = f(x+T)-g(x+T) ,故证明其差为周期函数
I(x) = f(x)g(x) = f(x+T)g(x+T) ,故证明其积为周期函数
I(x) = f(x)/g(x) = f(x+T)/g(x+T) ,故证明其商为周期函数

更进一步可以证明,若f(x)的周期为T1,g(x)的周期为T2,若T1=kT2,其中k为整数,则f(x)与g(x)的和差商积也必定为周期函数,其周期为T1。

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